Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales homogéneo

¿Alguna vez te has encontrado con un sistema de ecuaciones lineales homogéneo y te has sentido completamente perdido? No te preocupes, en este artículo te enseñaremos paso a paso cómo resolver este tipo de problemas de manera sencilla y efectiva.

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo?

Antes de sumergirnos en la resolución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, es importante entender qué significa que sea homogéneo. En resumen, un sistema de ecuaciones lineales se considera homogéneo cuando todas las ecuaciones del sistema tienen igualdad igual a cero. Esto significa que las constantes en las ecuaciones son cero.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + 3y – 5z = 0

4x – 2y + 6z = 0

-3x + 5y + 2z = 0

Este es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, ya que todas las ecuaciones tienen igualdad igual a cero.

La forma matricial del sistema homogéneo

Una vez que tenemos claro lo que es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, podemos representarlo de forma matricial. Para ello, vamos a utilizar las matrices. La matriz aumentada se forma tomando los coeficientes de las variables y colocándolos en una matriz y los términos constantes en otra.

Utilizando el sistema de ecuaciones anterior como ejemplo, la forma matricial sería la siguiente:

$$begin{bmatrix} 2 & 3 & -5 \ 4 & -2 & 6 \ -3 & 5 & 2 end{bmatrix} begin{bmatrix} x \ y \ z end{bmatrix} = begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix}$$

Donde la matriz de coeficientes es:

$$begin{bmatrix} 2 & 3 & -5 \ 4 & -2 & 6 \ -3 & 5 & 2 end{bmatrix}$$

y la matriz de términos constantes es:

$$begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix}$$

Resolviendo el sistema homogéneo

Ahora que hemos representado el sistema de ecuaciones lineales homogéneo en su forma matricial, podemos proceder a resolverlo. Existen varias formas de resolver un sistema de ecuaciones, pero en este artículo nos centraremos en el método de eliminación de Gauss-Jordan.

Paso 1: Escalonar la matriz

El primer paso consiste en escalonar la matriz de coeficientes utilizando el método de Gauss-Jordan. El objetivo es obtener una matriz escalonada reducida en la que el elemento principal de cada fila sea igual a 1 y los elementos por encima y por debajo de cada elemento principal sean iguales a 0.

Tomando como ejemplo nuestro sistema de ecuaciones anterior, la matriz de coeficientes escalonada sería la siguiente:

$$begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 end{bmatrix}$$

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Paso 2: Despejar las variables

Una vez que hemos obtenido la matriz escalonada reducida, el siguiente paso es despejar las variables. Para ello, despejaremos las variables en función de las variables principales. En este caso, las variables principales son x e y.

Despejando las variables, obtenemos:

x = 2z

y = -3z

Esta es la forma general de la solución para un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Las variables se expresan en función de una variable libre, en este caso z.

Interpretación geométrica

Si representamos las ecuaciones como planos en un sistema de coordenadas tridimensional, podemos entender mejor la interpretación geométrica de la solución.

En el ejemplo anterior, las ecuaciones representan tres planos en el espacio tridimensional. El sistema de ecuaciones tiene una solución cuando los tres planos se intersectan en una sola recta. Esta recta representa la solución para las variables x, y y z.

Preguntas frecuentes

¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tenga una solución única?

No, un sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que cualquier múltiplo de la solución es también una solución válida. Por ejemplo, si la solución es (2, -3, 1), entonces (4, -6, 2), (6, -9, 3), etc., también son soluciones.

¿Qué ocurre si el sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene más variables que ecuaciones?

Si el sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene más variables que ecuaciones, entonces tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que hay variables libres, es decir, variables que se pueden tomar como cualquier valor real. Por ejemplo, si tenemos dos ecuaciones y tres variables, entonces una variable será una variable libre.

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¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales homogéneo no tenga solución?

Sí, es posible que un sistema de ecuaciones lineales homogéneo no tenga solución. Esto ocurre cuando los planos representados por las ecuaciones son paralelos o coincidentes, es decir, no tienen intersección. En este caso, diremos que el sistema es incompatible.

Espero que este artículo te haya ayudado a comprender mejor cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Recuerda practicar con diferentes ejemplos para afianzar tus conocimientos y no dudes en dejar tus preguntas en los comentarios. ¡Buena suerte!