El dominio de una función racional

¿Qué es una función racional?

Una función racional es una función matemática que se puede representar como el cociente de dos polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por términos que no tienen divisiones ni raíces cuadradas.

Las funciones racionales se pueden expresar de la forma f(x) = p(x) / q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) no es igual a cero. En otras palabras, una función racional es el resultado de dividir un polinomio por otro polinomio.

Una característica importante de las funciones racionales es que presentan singularidades o puntos donde la función no está definida. Estas singularidades se producen cuando el denominador de la función se anula, lo cual indica que la función no está definida en ese punto.

Las funciones racionales pueden tener diferentes comportamientos gráficos. Algunas funciones racionales pueden presentar asíntotas, que son líneas a las cuales la función se acerca pero nunca alcanza. Estas asíntotas pueden ser horizontales, verticales o diagonales, dependiendo de la forma de los polinomios.

Algunos ejemplos de funciones racionales son f(x) = 1 / x, f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x – 1) y f(x) = (2x^3 + 5x^2 – 3x + 1) / (3x^2 + 2x – 5).

En resumen, una función racional es una función matemática representada como el cociente de dos polinomios, que presenta singularidades y puede tener diferentes comportamientos gráficos.

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Características de las funciones racionales

Las funciones racionales son aquellas en las cuales el numerador y el denominador son polinomios, es decir, expresiones algebraicas que contienen términos de la forma ax^n, donde a es un número y n es un número entero no negativo.

Las características principales de las funciones racionales son las siguientes:

  1. Asíntotas verticales: Son líneas verticales que representan valores para los cuales el denominador se hace cero. Si el denominador tiene un factor común con el numerador, la asíntota se deberá a ese factor.
  2. Asíntotas horizontales: Son líneas horizontales a las que la función tiende a medida que x tiende hacia más o menos infinito. Se calculan comparando los grados de los polinomios del numerador y del denominador. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, no hay asíntotas horizontales. Si los grados son iguales, hay una asíntota en el valor de la razón entre los coeficientes principales de los polinomios. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, hay una asíntota horizontal en y=0.
  3. Puntos singulares: Son los puntos para los cuales el denominador se hace cero pero no el numerador. Estos puntos pueden generar cambios bruscos en la gráfica de la función.
  4. Intersecciones con los ejes: Estos puntos se encuentran al igualar la función a cero. Si alguno de los polinomios tiene raíces complejas, se pueden tener intersecciones imaginarias.
  5. Comportamiento de la función: Al analizar el comportamiento de la función en los intervalos definidos por las asíntotas verticales y los puntos singulares, se puede determinar si la función es creciente o decreciente, y si tiene máximos o mínimos.

En resumen, las funciones racionales son polinomios divididos entre polinomios y presentan características como asíntotas verticales y horizontales, puntos singulares, intersecciones con los ejes y un comportamiento definido en función de los intervalos establecidos.

Cálculo del dominio de una función racional

Una función racional es aquella que puede ser expresada como el cociente de dos polinomios. El dominio de una función racional se encuentra determinando los valores de la variable independiente para los cuales la función está definida.

Para encontrar el dominio de una función racional, debemos tener en cuenta dos cosas: la existencia de posibles valores que hagan que el denominador sea igual a cero y la existencia de posibles valores que hagan que la función sea indefinida.

Primero, identificamos los valores que hacen que el denominador sea igual a cero. Para ello, nos fijamos en el denominador de la función racional y planteamos la ecuación denominador = 0. Resolvemos esta ecuación para encontrar los valores de la variable independiente que hacen que el denominador sea igual a cero.

A continuación, debemos verificar si esos valores encontrados generan una indeterminación en la función. Esto ocurre cuando el numerador también es igual a cero en esos puntos. Para determinar si esto sucede, evaluamos la función en esos valores y comprobamos si obtendremos un resultado definido o indefinido.

En resumen, el dominio de una función racional está dado por todos los valores de la variable independiente para los cuales la función está definida y no genera una indeterminación.

Algunas consideraciones adicionales pueden surgir si la función tiene raíces en el denominador que se anulan en el numerador, ya que en esos puntos la función también puede ser indefinida. Estos casos deben ser analizados de manera individual para determinar su influencia en el dominio.

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Ejemplo de cálculo del dominio de una función racional

En matemáticas, el dominio de una función es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida. En el caso de una función racional, también conocida como fracción algebraica, el dominio está determinado por las restricciones que evitan la división por cero.

Para calcular el dominio de una función racional, se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Identificar los valores para los cuales el denominador de la función se anula. Estos valores son aquellos que hacen que la fracción tenga una división por cero.
  2. Excluir los valores encontrados en el paso anterior del conjunto de posibles valores para x. Estos valores no pueden ser parte del dominio debido a la restricción de la división por cero.
  3. El conjunto resultante de valores para x es el dominio de la función racional.
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Veamos un ejemplo para entenderlo mejor:

Ejemplo:

Consideremos la función racional f(x) = 5 / (x – 2).

El denominador de la función se anula cuando x = 2. Por lo tanto, debemos excluir este valor del conjunto de posibles valores para x.

El dominio de la función racional f(x) = 5 / (x – 2) es todos los valores de x, excepto x = 2.

En resumen, para calcular el dominio de una función racional, es necesario identificar los valores que anulan el denominador de la función y excluirlos del conjunto de posibles valores para x.