Límites de funciones de dos variables: ejercicios resueltos

¿Qué son los límites de funciones de dos variables?

Antes de adentrarnos en los ejercicios resueltos, vamos a repasar qué son los límites de funciones de dos variables. En matemáticas, un límite es la aproximación de los valores de una función cuando se acerca a cierto punto. En el caso de las funciones de dos variables, estamos hablando de una función que depende de dos variables independientes.

Por ejemplo, consideremos la función f(x, y) = x^2 + y^2. Si queremos encontrar el límite de esta función cuando nos acercamos al punto (1, 1), estamos buscando el valor que se acerca a medida que x y y se acercan a 1.

Resolviendo ejercicios de límites de funciones de dos variables

Para resolver ejercicios de límites de funciones de dos variables, es importante trazar el enfoque correcto y utilizar diversas técnicas matemáticas. A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos que nos ayudarán a comprender mejor este concepto.

Ejercicio 1

Calcular el siguiente límite: lim[(x, y) -> (0, 0)] (x^2 + y^2)/sqrt(x^2 + y^2)

Para resolver este ejercicio, primero podemos simplificar la expresión dividiendo tanto el numerador como el denominador por sqrt(x^2 + y^2). De esta manera, obtenemos:

lim[(x, y) -> (0, 0)] (x^2 + y^2)/sqrt(x^2 + y^2) = lim[(x, y) -> (0, 0)] sqrt(x^2 + y^2)

Ahora podemos utilizar la técnica de cambio a coordenadas polares para resolver este límite. En coordenadas polares, tenemos que:

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x = r cos(theta)

y = r sin(theta)

Reemplazando estas expresiones en el límite, obtenemos:

lim[(r, theta) -> (0, 0)] sqrt(r^2) = lim[(r, theta) -> (0, 0)] r = 0

Por lo tanto, concluimos que el límite de la función cuando nos acercamos al punto (0, 0) es 0.

Ejercicio 2

Calcular el siguiente límite: lim[(x, y) -> (1, 2)] (x^2 + y^2 – 5x – 6y + 9)/(x – 1)

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Para resolver este ejercicio, primero podemos tratar de simplificar la expresión factorizando el numerador:

lim[(x, y) -> (1, 2)] [(x – 3)(x – 3) + (y – 3)(y – 3)]/(x – 1)

Ahora podemos cancelar el factor común de (x – 1) en el numerador y el denominador:

lim[(x, y) -> (1, 2)] (x – 3) + (y – 3)(y – 3) = -2

Por lo tanto, concluimos que el límite de la función cuando nos acercamos al punto (1, 2) es -2.

Conclusión

En resumen, los límites de funciones de dos variables nos permiten determinar el comportamiento de la función cuando nos acercamos a un punto específico en el plano. Para resolver estos límites, podemos utilizar técnicas como cambio de coordenadas y factorización. Los ejercicios resueltos presentados aquí son solo algunos ejemplos para ayudarnos a comprender mejor este concepto.

Preguntas frecuentes

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¿Los límites de funciones de dos variables siempre existen?

No necesariamente. Al igual que en el caso de las funciones de una variable, los límites de funciones de dos variables no siempre existen. Es posible que una función no tenga límite en ciertos puntos o que los límites sean diferentes dependiendo de la dirección en la que nos acerquemos al punto.

¿Existen otras técnicas para resolver límites de funciones de dos variables?

Sí, aparte de las técnicas presentadas en los ejercicios resueltos, existen otras herramientas matemáticas que pueden ser útiles para resolver límites de funciones de dos variables. Por ejemplo, el teorema del límite central y el teorema del emparedado son dos técnicas comunes utilizadas en cálculo para evaluar límites.

¿Cuál es la importancia de los límites de funciones de dos variables?

Los límites de funciones de dos variables son fundamentales en el estudio del cálculo multivariable. Nos ayudan a comprender el comportamiento de una función en el plano y son una herramienta clave para resolver problemas en física, economía y otras disciplinas que involucran variables múltiples.