Ejercicios resueltos de sucesiones 3 eso

¿Qué son las sucesiones en matemáticas?

Las sucesiones en matemáticas son una secuencia ordenada de números o términos. Consisten en una lista finita o infinita de elementos que siguen un patrón o regla. Cada elemento de la sucesión se llama término.

En las sucesiones, los términos pueden estar relacionados entre sí mediante una fórmula matemática, una regla de formación o simplemente por una ley establecida. Estos términos se enumeran según un cierto orden o posición.

Las sucesiones son ampliamente utilizadas en diversas ramas de las matemáticas y tienen aplicaciones prácticas en la resolución de problemas. Por ejemplo, se pueden utilizar para representar el crecimiento de una población, la progresión de una enfermedad o el aumento de valores en una secuencia de tiempo.

Existen distintos tipos de sucesiones, como las sucesiones numéricas, donde los términos son números reales o complejos; las sucesiones geométricas, en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante; y las sucesiones aritméticas, donde cada término se obtiene sumando una constante a su anterior.

Las sucesiones pueden representarse de diferentes maneras:

1. Mediante una fórmula o regla de formación que permite calcular cualquier término de la sucesión a partir de su posición.
2. Mediante una lista de términos, donde se muestra cada elemento de la sucesión en su posición correspondiente.
3. Mediante una gráfica, representando los términos en un sistema de coordenadas.

En resumen, las sucesiones en matemáticas son secuencias ordenadas de números o términos que siguen un patrón o regla establecida. Son utilizadas para modelar fenómenos, resolver problemas matemáticos y analizar situaciones que involucran un crecimiento o progresión.

Ejercicio 1: Sucesión aritmética

En matemáticas, una sucesión aritmética es una sucesión numérica en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma.

La forma general de una sucesión aritmética es:

a_n = a₁ + (n-1)d

Donde a_n representa el n-ésimo término de la sucesión, a₁ es el primer término y d es la diferencia común entre los términos consecutivos.

Por ejemplo, consideremos la siguiente sucesión aritmética:

3, 7, 11, 15, 19, …

Para encontrar el valor del vigésimo término, podemos usar la fórmula de la sucesión aritmética:

a_n = a₁ + (n-1)d

Sabiendo que a₁ = 3 y d = 4, sustituimos los valores en la fórmula:

a₂₀ = 3 + (20-1)4

a₂₀ = 3 + 19*4

a₂₀ = 3 + 76

a₂₀ = 79

Por lo tanto, el vigésimo término de la sucesión aritmética es 79.

Las sucesiones aritméticas son de gran importancia en matemáticas y tienen una amplia aplicación en el álgebra, la estadística y la física. Son utilizadas para modelar situaciones que siguen un patrón de crecimiento o decremento constante.

En resumen, una sucesión aritmética es una secuencia numérica en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Se pueden encontrar los términos individuales utilizando la fórmula a_n = a₁ + (n-1)d. Estas sucesiones son utilizadas en diversas áreas de las matemáticas y las ciencias para describir patrones de crecimiento o decremento.

Ejercicio 2: Sucesión geométrica

En matemáticas, una sucesión geométrica es una serie de números en la cual cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada razón. Esta razón suele representarse por la letra r.

La fórmula general para calcular el término n-ésimo de una sucesión geométrica es:

a_n = a₁ * r^(n-1)

Donde a_n es el término n-ésimo, a₁ es el primer término de la sucesión y r es la razón.

Por ejemplo, si tenemos una sucesión geométrica con un primer término de 2 y una razón de 3, los primeros cinco términos serían:

• 2
• 6
• 18
• 54
• 162

Como se puede observar, cada término es tres veces mayor que el anterior.

Una propiedad importante de las sucesiones geométricas es que la suma de todos sus términos se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

S_n = a₁ * (1 – rⁿ) / (1 – r)

Donde S_n representa la suma de los primeros n términos. Esta fórmula es útil para determinar la suma total de una sucesión geométrica sin tener que calcular cada término por separado.

En resumen, una sucesión geométrica es una serie de números en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. Su fórmula general es a_n = a₁ * r^(n-1), y la suma de todos sus términos se puede calcular utilizando la fórmula S_n = a₁ * (1 – rⁿ) / (1 – r).

Ejercicio 3: Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una secuencia matemática en la que cada número es la suma de los dos anteriores.

• Descripción: La sucesión de Fibonacci comienza con los números 0 y 1. A partir de ahí, cada número se obtiene sumando los dos anteriores. Es decir, el tercer número de la sucesión es 0+1=1, el cuarto número es 1+1=2, el quinto es 1+2=3, y así sucesivamente.
• Propiedades:
• La sucesión de Fibonacci es infinita.
• Cada número de la sucesión está compuesto por la suma de los dos anteriores.
• La relación entre dos términos consecutivos de la sucesión se acerca a φ (phi), aproximadamente 1.6180339887.
• Aplicaciones:
• La sucesión de Fibonacci está presente en la naturaleza, como en la disposición de hojas en algunas plantas, pétalos de flores y conchas de caracol.
• En informática, la sucesión de Fibonacci se utiliza en algoritmos de búsqueda, optimización y en la generación de gráficos fractales.
• Ejemplo: Los primeros números de la sucesión de Fibonacci son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

En resumen, la sucesión de Fibonacci es una secuencia matemática que se genera sumando los dos números anteriores. Tiene propiedades interesantes y se encuentra presente en varios aspectos de la naturaleza y la informática.

Ejercicio 4: Sucesión recursiva

En matemáticas, una sucesión recursiva se define como una sucesión en la que cada término depende de uno o varios términos anteriores. En otras palabras, la forma de encontrar cada elemento de la sucesión se basa en la relación que existe entre los términos previos.

Una de las sucesiones recursivas más conocidas es la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de ahí cada término se obtiene sumando los dos términos anteriores. Por ejemplo:

• 0
• 1
• 1
• 2
• 3
• 5
• 8
• 13

En este caso, podemos ver que cada número en la sucesión de Fibonacci es la suma de los dos números anteriores.

Otro ejemplo de sucesión recursiva es la sucesión de números triangulares. Esta sucesión comienza con el número 1, y cada término se obtiene sumando los números naturales consecutivos. Por ejemplo:

• 1
• 3
• 6
• 10
• 15
• 21
• 28
• 36

En este caso, cada término es la suma de todos los números naturales consecutivos hasta ese número.

Las sucesiones recursivas son de gran importancia en matemáticas y tienen diversas aplicaciones en diferentes áreas como la informática y la física. Además, el estudio de estas sucesiones puede ayudar a desarrollar habilidades de pensamiento lógico y razonamiento matemático.