Ejercicios resueltos de sistema de inecuaciones con dos incógnitas

Introducción

Cuando se estudian sistemas de inecuaciones con dos incógnitas, nos encontramos con un conjunto de desigualdades que involucran variables desconocidas. Resolver estos sistemas implica encontrar las soluciones que cumplen con todas las inecuaciones simultáneamente. En este artículo, exploraremos algunos ejercicios resueltos paso a paso para comprender mejor este tema.

¿Qué es un sistema de inecuaciones?

Antes de adentrarnos en la resolución de los ejercicios, es importante comprender qué es un sistema de inecuaciones. Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más desigualdades que involucran las mismas variables. Las soluciones de este sistema son los valores de las variables que satisfacen todas las inecuaciones al mismo tiempo.

Ejercicio 1:

Consideremos el siguiente sistema de inecuaciones:
“`
2x + 3y ≤ 12
x – y > 4
“`

Nuestro objetivo es encontrar el conjunto de soluciones de este sistema. Comenzamos analizando la primera inecuación: `2x + 3y ≤ 12`. Vamos a representar gráficamente esta inecuación para visualizar las soluciones.

Para ello, convertimos la inecuación a una ecuación y graficamos la recta correspondiente. En este caso, la recta es `2x + 3y = 12`. Tomamos dos puntos arbitrarios en esta recta y trazamos la línea recta que los une.

Ahora, para determinar la región que satisface la desigualdad, elegimos un punto arbitrario que no esté en la recta y sustituimos sus coordenadas en la inecuación original. Si la declaración es verdadera, el punto se encuentra en la región sombreada; de lo contrario, se encuentra fuera de ella.

Una vez que hemos graficado la primera inecuación, procedemos a graficar la segunda: `x – y > 4`.

Continuamos aplicando el mismo procedimiento y encontramos la recta `x – y = 4`. Graficamos esta recta y determinamos de nuevo la región que satisface la desigualdad.

Finalmente, analizamos la región en la cual ambas inecuaciones se solapan. Esta región es la solución del sistema de inecuaciones.

Análisis del resultado

En este ejercicio, hemos encontrado que la solución del sistema de inecuaciones está representada por la región sombreada en el gráfico. Esta región incluye todos los puntos (x, y) que satisfacen simultáneamente las dos inecuaciones.

Ejercicio 2:

Consideremos ahora el siguiente sistema de inecuaciones:
“`
3x + 4y < 10
2x – y ≥ 5
“`

Nuestro objetivo nuevamente es encontrar el conjunto de soluciones de este sistema.

Al seguir el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, podemos graficar ambas inecuaciones y determinar la región de solución.

Análisis del resultado

En este caso, hemos encontrado que la región sombreada en el gráfico representa la solución del sistema de inecuaciones. Todos los puntos (x, y) que se encuentran en esta región satisfacen las dos desigualdades simultáneamente.

Ejercicio 3:

Continuemos con otro ejemplo de sistema de inecuaciones:
“`
5x – 2y ≤ 8
x + 3y > 2
“`

Una vez más, seguimos el procedimiento anterior y graficamos las inecuaciones para encontrar la solución del sistema.

Análisis del resultado

En este caso, la región sombreada en el gráfico representa la solución del sistema de inecuaciones. Todos los puntos (x, y) dentro de esta región satisfacen ambas inecuaciones simultáneamente.

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Conclusión

En resumen, resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas implica representar gráficamente las inecuaciones y determinar la región de solución en el plano cartesiano. Esta región está compuesta por los puntos que satisfacen todas las desigualdades simultáneamente. A través de los ejercicios resueltos presentados en este artículo, hemos podido visualizar este proceso paso a paso.

Es importante practicar estos ejercicios para desarrollar habilidades en la resolución de sistemas de inecuaciones y comprender cómo diferentes desigualdades interactúan entre sí. Estas habilidades son fundamentales en áreas como la economía, la física y la optimización de problemas.

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Preguntas frecuentes

1. ¿Qué ocurre si las rectas de las inecuaciones son paralelas?

Si las rectas de las inecuaciones son paralelas, significa que no tienen puntos de intersección. En este caso, el sistema de inecuaciones no tiene soluciones.

2. ¿Es posible tener infinitas soluciones en un sistema de inecuaciones?

Sí, es posible tener infinitas soluciones en un sistema de inecuaciones. Esto ocurre cuando las inecuaciones representan la misma recta o cuando las desigualdades son equivalentes.

3. ¿Cuál es la importancia de la representación gráfica en la resolución de sistemas de inecuaciones?

La representación gráfica permite visualizar claramente la región de solución de un sistema de inecuaciones. Esto nos facilita la comprensión de cómo diferentes desigualdades interactúan y nos ayuda a encontrar soluciones de manera más intuitiva.

Recuerda practicar estos ejercicios resueltos y explorar más problemas para fortalecer tus habilidades en la resolución de sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. ¡Buena suerte!