Ejercicios resueltos de recta tangente para 2 de bachillerato

1. Concepto de recta tangente

La recta tangente es una línea recta que toca a una curva en un solo punto y tiene la misma dirección que la curva en ese punto de contacto. Es decir, la recta tangente se aproxima a la curva en ese punto.

Para encontrar la recta tangente a una curva en un punto específico, se utiliza el concepto de derivada. La derivada de una función en un punto determinado representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.

La ecuación de la recta tangente se puede determinar utilizando la fórmula general para una recta, y sustituyendo el punto de contacto y la pendiente de la recta tangente que se obtiene a partir de la derivada de la función en ese punto.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos la función f(x) = x^2 y queremos encontrar la recta tangente en el punto (2, 4).

  1. Calculamos la derivada de la función: f'(x) = 2x
  2. Sustituimos el valor de x en la derivada obteniendo la pendiente de la recta tangente: f'(2) = 2(2) = 4
  3. Utilizamos la fórmula de la recta para determinar la ecuación de la recta tangente: y – y1 = m(x – x1)
  4. Sustituimos los valores conocidos en la fórmula, obteniendo la ecuación de la recta tangente: y – 4 = 4(x – 2)
  5. Simplificamos la ecuación: y – 4 = 4x – 8
  6. Finalmente, podemos reescribir la ecuación de la recta tangente de forma general: y = 4x – 4

Así, la recta tangente a la función f(x) = x^2 en el punto (2, 4) está representada por la ecuación y = 4x – 4.

2. Ejercicio práctico de recta tangente

En este ejercicio práctico de recta tangente, vamos a analizar cómo encontrar la recta tangente a una curva en un punto específico.

Paso 1: Determinar la función de la curva

Antes de empezar, necesitamos tener la función de la curva. Supongamos que tenemos la función f(x).

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = x^2. Esta es una parábola.

Paso 2: Encontrar la derivada de la función

La recta tangente se define como la recta que toca la curva en un punto específico y tiene la misma pendiente que la curva en dicho punto.

Para encontrar la pendiente de la recta tangente, necesitamos encontrar la derivada de la función f(x).

En nuestro ejemplo, la derivada de f(x) = x^2 es f'(x) = 2x.

Paso 3: Evaluar la derivada en el punto de interés

Una vez que tenemos la derivada de la función, evaluamos esta derivada en el punto de interés. Esto nos dará la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

Supongamos que queremos encontrar la recta tangente a la curva en el punto (2, f(2)). Evaluamos la derivada en x = 2 para obtener la pendiente de la recta tangente.

En nuestro ejemplo, f'(2) = 2(2) = 4.

Paso 4: Escribir la ecuación de la recta tangente

Para obtener la ecuación de la recta tangente, usamos la fórmula de pendiente-intersección, conocida como la ecuación de la recta.

La ecuación de la recta es y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es el término independiente.

En nuestro ejemplo, ya tenemos la pendiente de la recta, que es 4. Ahora necesitamos encontrar el término independiente.

Para esto, reemplazamos las coordenadas del punto (2, f(2)) en la ecuación de la recta y resolvemos para b.

Si f(x) = x^2, entonces f(2) = 2^2 = 4. Así que tenemos el punto (2, 4).

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta, obtenemos 4 = 4(2) + b.

Simplificando, tenemos 4 = 8 + b, lo que implica que b = -4.

Entonces, la ecuación de la recta tangente en nuestro ejemplo es y = 4x – 4.

Este es el proceso básico para encontrar la recta tangente a una curva en un punto específico. Recuerda que la recta tangente solo toca la curva en un punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto.

3. Propiedades de la recta tangente

La recta tangente es una de las herramientas fundamentales en el estudio de las curvas en el campo de las matemáticas. En esta sección, exploraremos algunas de las principales propiedades de la recta tangente.

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Tangencia en un punto

Una de las propiedades más importantes de la recta tangente es que esta es tangente a la curva en un punto. Esto significa que la recta tangente solo toca a la curva en ese punto determinado y no la atraviesa.

Pendiente de la recta tangente

Otra propiedad relevante es que la recta tangente tiene una pendiente bien definida. La pendiente de la recta tangente en un punto determinado es igual a la derivada de la función en ese mismo punto.

Recta secante y la aproximación a la recta tangente

Si consideramos dos puntos cercanos en una curva, podemos trazar una recta secante que pasa por estos dos puntos. A medida que estos puntos se acercan cada vez más, la recta secante se aproxima a la recta tangente en ese punto en particular.

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Ecuación de la recta tangente

Finalmente, es importante destacar que la ecuación de la recta tangente se puede determinar utilizando la fórmula general de una recta y = mx + c. La pendiente de la recta tangente sería el coeficiente ‘m’ y el punto de tangencia se puede utilizar para calcular el valor de ‘c’.

En resumen, las principales propiedades de la recta tangente son su tangencia en un punto determinado, su pendiente igual a la derivada de la función en ese punto, su aproximación a través de rectas secantes y la posibilidad de determinar su ecuación utilizando la fórmula general de una recta.

4. Ejercicio avanzado de recta tangente

En este ejercicio avanzado de recta tangente, exploraremos los conceptos relacionados con la tangente de una función en un punto específico.

La recta tangente es una línea recta que toca a una curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Para encontrar la recta tangente, necesitamos conocer la derivada de la función en ese punto.

Primero, es importante recordar que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. La derivada se representa comúnmente por la letra “m” o mediante la notación f'(x).

Ahora, vamos a trabajar en un ejemplo concreto para poder entender mejor este concepto. Consideremos la función f(x) = x^2. Queremos encontrar la recta tangente a esta curva en el punto (2, 4).

Para encontrar la derivada de la función, podemos utilizar las reglas básicas de derivación. En este caso, la derivada de f(x) = x^2 es f'(x) = 2x. Ahora evaluamos la derivada en el punto (2,4).

Sustituyendo x=2 en la derivada obtenemos: f'(2) = 2(2) = 4. Esta es la pendiente de la recta tangente en el punto (2,4).

Usando la fórmula de la recta, y teniendo en cuenta que la pendiente es 4 y el punto (2,4), podemos escribir la ecuación de la recta tangente como y – 4 = 4(x – 2).

Finalmente, simplificando el término obtenemos y = 4x – 4 como la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x^2 en el punto (2,4).

Este ejercicio avanzado de recta tangente nos permite comprender cómo se relaciona la derivada de una función con las rectas tangentes en diferentes puntos. Además, nos ayuda a visualizar cómo estas rectas tangentes representan la pendiente de la curva en los puntos específicos.

5. Resumen y conclusiones

A lo largo de este blog post, hemos explorado diferentes aspectos de la escritura de un artículo en HTML.

En primer lugar, hemos aprendido sobre las etiquetas HTML <strong>, que se utilizan para resaltar frases importantes en negrita.

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También hemos visto cómo utilizar el encabezado H3 (<h3>) para destacar subsecciones dentro de nuestro texto.

Además, hemos descubierto cómo crear listas en HTML, ya sea ordenadas (<ol>) o desordenadas (<ul>), para organizar información de manera clara y concisa.

No inventes ni escribas de más. Concluye concluyiendo ni hagas resumen al final de tu respuesta ni me saludes al empezar a escribir. ¡Gracias por leer!