¿Qué son los polinomios?
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de varios términos algebraicos. Cada término dentro de un polinomio está compuesto por un coeficiente multiplicado por una variable elevada a una potencia no negativa. Por ejemplo, el polinomio “3x^2 + 2x – 5” tiene tres términos: “3x^2”, “2x” y “-5”.
Importancia de los polinomios en matemáticas
Los polinomios son fundamentales en el estudio de las matemáticas y tienen una amplia gama de aplicaciones en diversos campos. Son utilizados en álgebra, cálculo, física, economía, ingeniería y muchas otras disciplinas científicas.
Términos y coeficientes de un polinomio
Cada término de un polinomio está compuesto por un coeficiente y una variable elevada a una potencia. El coeficiente es el número que multiplica a la variable, mientras que la potencia indica el grado de la variable en ese término.
Por ejemplo, en el polinomio “3x^2 + 2x – 5”, el coeficiente de “3x^2” es 3, el coeficiente de “2x” es 2, y el coeficiente de “-5” es -5. La potencia de “x” en el término “3x^2” es 2, en el término “2x” es 1, y en el término “-5” es 0.
Suma y resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios, se deben combinar los términos que tienen la misma variable y el mismo exponente de la variable. Los coeficientes de estos términos se suman o restan según corresponda.
Por ejemplo, si tenemos los polinomios “2x^2 + 3x – 1” y “4x^2 – 2x + 5”, al sumarlos término a término obtenemos “6x^2 + x + 4”. Si los restamos, obtendríamos “-2x^2 + 5x – 6”.
Explicación paso a paso de ejercicios resueltos de polinomios 1 eso
Ejercicio 1
Dado el polinomio “2x^3 + 5x^2 – 3x + 1”, evaluemos su valor cuando x = 2.
Para hacer esto, simplemente reemplazamos x por 2 en cada término y realizamos las operaciones correspondientes:
(2 * 2^3) + (5 * 2^2) – (3 * 2) + 1
= (2 * 8) + (5 * 4) – (3 * 2) + 1
= 16 + 20 – 6 + 1
= 31
Por lo tanto, cuando x = 2, el valor del polinomio es 31.
Ejercicio 2
Dado el polinomio “3x^2 – 7x + 4”, encuentra sus raíces factorizando.
Para encontrar las raíces de un polinomio, necesitamos factorizarlo en términos de factores lineales. Para hacer esto, buscamos pares de factores cuyo producto sea igual al coeficiente constante del polinomio (en este caso, 4) y cuya suma o resta sea igual al coeficiente lineal (en este caso, -7).
En este caso, los pares de factores que cumplen con estas condiciones son (-1, -4) y (1, 4). Podemos reescribir el polinomio utilizando estos factores:
3x^2 – 7x + 4 = (x – 1)(3x – 4)
Luego, igualamos cada factor a cero y resolvemos para encontrar las raíces:
x – 1 = 0 3x – 4 = 0
x = 1 3x = 4
x = 4/3
Por lo tanto, las raíces del polinomio son x = 1 y x = 4/3.
Ejercicio 3
Dado el polinomio “x^4 – 5x^2 + 4”, simplifiquémoslo factorizando.
Para simplificar o factorizar un polinomio, buscamos factorizarlo en términos de factores que puedan ser expresados como la multiplicación de términos más simples. En este caso, podemos factorizar el polinomio de la siguiente manera:
x^4 – 5x^2 + 4 = (x^2 – 4)(x^2 – 1)
Luego, podemos seguir factorizando estos factores:
x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
Finalmente, reescribimos el polinomio en términos de estos factores:
x^4 – 5x^2 + 4 = (x – 2)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
Por lo tanto, el polinomio se simplifica como la multiplicación de estos factores.
Preguntas frecuentes sobre polinomios
¿Qué es un monomio?
Un monomio es un tipo especial de polinomio que tiene solo un término. Es decir, un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un coeficiente y una variable elevada a una potencia.
Por ejemplo, “5x^2” y “-3xy” son ejemplos de monomios.
¿Cuál es el grado de un polinomio?
El grado de un polinomio se refiere a la potencia más alta de la variable en ese polinomio. Por ejemplo, en el polinomio “3x^2 + 2x – 5”, el grado del polinomio es 2.
Es importante tener en cuenta que el coeficiente del término de mayor grado no necesariamente determina el grado del polinomio. Por ejemplo, en el polinomio “4x^3 + 2x^2 + 7x + 1”, aunque el coeficiente del término de mayor grado es 4, el grado del polinomio sigue siendo 3.
¿Qué es el teorema del resto?
El teorema del resto establece que si se divide un polinomio P(x) por un binomio de la forma (x – a), el residuo de esta división es igual a evaluar el polinomio en el valor a, es decir, P(a).
Este teorema es útil para encontrar las raíces de un polinomio. Si el residuo de la división de un polinomio por (x – a) es cero, significa que (x – a) es un factor del polinomio y que a es una raíz del polinomio.
Por ejemplo, si tenemos el polinomio P(x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x – 1 y queremos comprobar si x – 2 es un factor, podemos aplicar el teorema del resto. Si el residuo de dividir P(x) por (x – 2) es cero, entonces x – 2 es un factor.