Ejercicios resueltos de optimización con restricciones de desigualdad
En este artículo, exploraremos una serie de ejercicios resueltos de optimización que involucran restricciones de desigualdad. La optimización es una rama de las matemáticas que se enfoca en encontrar los valores máximos o mínimos de una función sujeta a ciertas restricciones. Las restricciones de desigualdad agregan un desafío adicional al problema, ya que limitan las posibles soluciones.
¿Qué son las restricciones de desigualdad?
Las restricciones de desigualdad son condiciones que deben cumplirse en un problema de optimización. Estas restricciones se expresan mediante desigualdades, como “menor que” (), “menor o igual que” (≤) y “mayor o igual que” (≥). Por ejemplo, si estamos optimizando la producción de productos y tenemos una restricción de que la cantidad producida debe ser mayor que cero, entonces tendríamos una restricción de desigualdad de la forma “producción > 0”.
Ahora que tenemos una comprensión básica de las restricciones de desigualdad, examinaremos algunos ejercicios resueltos para ilustrar cómo se pueden abordar estos problemas de optimización.
Ejercicio 1: Maximización de la utilidad
Imaginemos que gestionamos una tienda en línea y queremos maximizar nuestra utilidad diaria. Tenemos dos productos que podemos vender: A y B. Cada unidad del producto A genera una utilidad de $10, mientras que cada unidad del producto B genera una utilidad de $8. Sin embargo, estamos limitados por dos restricciones de desigualdad:
– La cantidad de productos A que podemos vender está limitada por “productos A ≤ 50”.
– La cantidad de productos B que podemos vender está limitada por “productos B ≤ 100”.
Para resolver este problema, asignaremos variables a las cantidades de productos A y B que vendemos. Llamemos a estas variables “x” y “y” respectivamente. La función que queremos maximizar es “10x + 8y” (la utilidad total). Ahora, apliquemos las restricciones de desigualdad:
– La restricción de “productos A ≤ 50” se traduce en “x ≤ 50”.
– La restricción de “productos B ≤ 100” se traduce en “y ≤ 100”.
¡Genial! Ahora que hemos traducido nuestro problema en términos matemáticos, podemos abordarlo utilizando técnicas de optimización.
Paso 1: Graficar las restricciones
Una forma común de abordar los problemas de optimización es graficar las restricciones y buscar el área factible, es decir, la región en el plano en la que se cumplen todas las restricciones. Veamos cómo se ve esto en nuestro caso.
En el gráfico anterior, la región sombreada representa el área factible, donde se cumplen ambas restricciones. Ahora, nuestro objetivo será encontrar el punto dentro de esta región que maximice nuestra utilidad total.
Paso 2: Determinar los vértices de la región factible
Para encontrar el punto óptimo dentro de la región factible, debemos examinar los vértices de esta región. Cada vértice representa una combinación de cantidades de productos A y B que cumplen todas las restricciones.
En este caso, los vértices son: (0, 0), (0, 100), (50, 0) y (50, 100). Ahora, solo tenemos que evaluar la función de utilidad en cada uno de estos vértices y elegir el que nos brinde el valor máximo.
Paso 3: Evaluar la función de utilidad en los vértices
– En el vértice (0, 0), la utilidad es 10(0) + 8(0) = 0.
– En el vértice (0, 100), la utilidad es 10(0) + 8(100) = 800.
– En el vértice (50, 0), la utilidad es 10(50) + 8(0) = 500.
– En el vértice (50, 100), la utilidad es 10(50) + 8(100) = 1400.
Por lo tanto, el máximo se alcanza en el vértice (50, 100) con una utilidad de $1400.
Preguntas frecuentes
1. ¿Cómo se traducen las restricciones de igualdad en un problema de optimización?
Las restricciones de igualdad se traducen directamente en ecuaciones. Por ejemplo, si tenemos una restricción de igualdad “x + y = 10”, entonces agregaríamos esta ecuación a nuestro problema de optimización.
2. ¿Cuál es la diferencia entre las restricciones de igualdad y las restricciones de desigualdad?
Las restricciones de igualdad requieren que ciertas cantidades sean iguales, mientras que las restricciones de desigualdad permiten una gama de valores. Por ejemplo, una restricción de igualdad podría ser “x + y = 10”, mientras que una restricción de desigualdad podría ser “x ≤ 5”.
3. ¿Se pueden resolver problemas de optimización con restricciones de desigualdad utilizando software?
Sí, existen varios programas de software que pueden resolver problemas de optimización con restricciones de desigualdad. Algunos ejemplos incluyen MATLAB, R y Python con la biblioteca SciPy.
En resumen, los ejercicios de optimización con restricciones de desigualdad son un desafío interesante pero abordable. Al traducir el problema en términos matemáticos, graficar las restricciones, determinar los vértices de la región factible y evaluar la función de utilidad en esos vértices, podemos encontrar la solución óptima. Recuerda que la optimización es una herramienta poderosa que se utiliza en una amplia gama de campos, desde la economía hasta la ingeniería. ¡No dudes en practicar más ejercicios y explorar diferentes escenarios para mejorar tus habilidades en optimización con restricciones de desigualdad!