Ejercicios resueltos de máximos y mínimos relativos y absolutos

¿Qué son los máximos y mínimos relativos y absolutos?

Los máximos y mínimos relativos y absolutos son conceptos fundamentales en el análisis matemático y se utilizan para determinar los puntos críticos de una función. Estos puntos representan los valores máximos y mínimos de una función en un determinado intervalo.

Cuando hablamos de máximos y mínimos relativos nos referimos a aquellos valores que la función alcanza en su dominio, es decir, en un intervalo específico. Por otro lado, los máximos y mínimos absolutos son los valores más altos y más bajos que la función puede alcanzar en todo su dominio.

A continuación, vamos a ver algunos ejercicios resueltos que nos ayudarán a comprender mejor estos conceptos.


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Resolución de ejercicios

Ejercicio 1

Dada la función f(x) = 2x^2 – 8x + 5, vamos a encontrar los máximos y mínimos relativos y absolutos en el intervalo [-1, 3].

Para encontrar los puntos críticos de la función, primero tomamos la derivada de la función respecto a x:
f'(x) = 4x – 8

Luego, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación:
4x – 8 = 0
4x = 8
x = 2

Ahora, evaluamos la función en los extremos del intervalo:
f(-1) = 2(-1)^2 – 8(-1) + 5 = 15
f(3) = 2(3)^2 – 8(3) + 5 = -1

Por lo tanto, el máximo relativo de la función en el intervalo [-1, 3] es 15 y el mínimo relativo es -1.

El máximo absoluto de la función en todo su dominio se encuentra en x = 2, ya que es el único punto crítico que obtuvimos. Evaluamos la función en ese punto:
f(2) = 2(2)^2 – 8(2) + 5 = 1

Entonces, el máximo absoluto de la función es 1.

Ejercicio 2

Consideremos la función g(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 2 en el intervalo [0, 4].

Al igual que en el ejercicio anterior, tomamos la derivada de la función respecto a x:
g'(x) = 3x^2 – 12x + 9

Igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación:
3x^2 – 12x + 9 = 0
x^2 – 4x + 3 = 0
(x – 3)(x – 1) = 0

Obtenemos dos puntos críticos: x = 3 y x = 1.

Evaluamos la función en los extremos del intervalo:
g(0) = (0)^3 – 6(0)^2 + 9(0) – 2 = -2
g(4) = (4)^3 – 6(4)^2 + 9(4) – 2 = 10

Por lo tanto, el máximo relativo de la función en el intervalo [0, 4] es 10 y el mínimo relativo es -2.

El máximo absoluto de la función en todo su dominio se encuentra en x = 3, ya que es uno de los puntos críticos que obtuvimos. Evaluamos la función en ese punto:
g(3) = (3)^3 – 6(3)^2 + 9(3) – 2 = 14

Entonces, el máximo absoluto de la función es 14.

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Conclusión

En este artículo hemos visto cómo resolver ejercicios de máximos y mínimos relativos y absolutos. Estos conceptos son de suma importancia en matemáticas y nos permiten encontrar los puntos críticos de una función y determinar los valores máximos y mínimos que puede alcanzar. Además, hemos resuelto algunos ejercicios prácticos para poner en práctica estos conceptos.

Espero que este artículo te haya sido útil y te haya ayudado a comprender mejor los máximos y mínimos relativos y absolutos. Te invito a practicar más ejercicios por tu cuenta para afianzar tus conocimientos en este tema.

¡No dudes en dejarme tus preguntas o comentarios en la sección de abajo!

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Preguntas frecuentes

1. ¿Cuál es la diferencia entre máximos y mínimos relativos y absolutos?

Los máximos y mínimos relativos son los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo específico, mientras que los máximos y mínimos absolutos son los valores más altos y más bajos que la función puede alcanzar en todo su dominio.

2. ¿Cómo se encuentran los puntos críticos de una función?

Para encontrar los puntos críticos de una función, tomamos la derivada de la función respecto a su variable independiente, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación resultante.

3. ¿Qué es la derivada de una función?

La derivada de una función en un punto dado representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto. En otras palabras, nos indica cómo cambia la función en ese punto específico.