Integración por partes es una técnica fundamental en el cálculo integral que nos permite resolver integrales de funciones que son productos de otras dos funciones. En este artículo, exploraremos algunos ejercicios resueltos de integrales por partes y analizaremos paso a paso cómo aplicar esta técnica para obtener soluciones.
¿Qué es la integración por partes?
La integración por partes es una técnica que se utiliza para integrar el producto de dos funciones. Se basa en la regla del producto en la diferenciación, que establece que la derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función, más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función.
La fórmula general para la integración por partes es:
[tex]int u , dv = uv – int v , du[/tex]
Donde [tex]u[/tex] y [tex]v[/tex] son funciones diferenciables y continuas. La elección adecuada de [tex]u[/tex] y [tex]dv[/tex] es fundamental para simplificar la integral original y facilitar su resolución.
Ejercicio resuelto 1
Consideremos el siguiente integral:
[tex]int x sin(x) , dx[/tex]
Para resolver esta integral, hacemos la siguiente elección:
[tex]u = x[/tex] y [tex]dv = sin(x) , dx[/tex]
Calculamos las derivadas:
[tex]du = dx[/tex] y [tex]v = -cos(x)[/tex]
Sustituimos en la fórmula de integración por partes:
[tex]int x sin(x) , dx = -x cos(x) – int (-cos(x)) , dx[/tex]
Simplificamos y finalmente obtenemos:
[tex]int x sin(x) , dx = -x cos(x) + int cos(x) , dx[/tex]
Integramos la segunda integral y obtenemos:
[tex]int x sin(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C[/tex]
Donde [tex]C[/tex] es una constante.
Ejercicio resuelto 2
Ahora consideremos el siguiente integral:
[tex]int e^x cos(x) , dx[/tex]
Tomamos:
[tex]u = e^x[/tex] y [tex]dv = cos(x) , dx[/tex]
Diferenciamos:
[tex]du = e^x , dx[/tex] y [tex]v = sin(x)[/tex]
Sustituimos en la fórmula de integración por partes:
[tex]int e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) – int (sin(x) , e^x) , dx[/tex]
Simplificamos y obtenemos:
[tex]int e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) – int sin(x) , e^x , dx[/tex]
Esta nueva integral es similar a la original, por lo que la resolvemos nuevamente aplicando integración por partes:
[tex]int e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) – (-cos(x) , e^x – int (-cos(x) , e^x) , dx)[/tex]
Continuamos simplificando:
[tex]int e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) + cos(x) , e^x – int cos(x) , e^x , dx[/tex]
La integral restante es idéntica a la original, por lo que la definimos como [tex]I[/tex]. Obtenemos la siguiente ecuación:
[tex]I = e^x sin(x) + cos(x) , e^x – I[/tex]
Resolvemos para [tex]I[/tex] y obtenemos:
[tex]I = frac{1}{2} e^x (sin(x) + cos(x)) + C[/tex]
Donde [tex]C[/tex] nuevamente representa una constante.
Ejercicio resuelto 3
Como último ejemplo, consideremos la siguiente integral:
[tex]int x^2 ln(x) , dx[/tex]
Elegimos:
[tex]u = ln(x)[/tex] y [tex]dv = x^2 , dx[/tex]
Derivamos:
[tex]du = frac{1}{x} , dx[/tex] y [tex]v = frac{x^3}{3}[/tex]
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
[tex]int x^2 ln(x) , dx = frac{x^3}{3} ln(x) – int frac{x^3}{3} cdot frac{1}{x} , dx[/tex]
Simplificamos y resolvemos:
[tex]int x^2 ln(x) , dx = frac{x^3}{3} ln(x) – int frac{x^2}{3} , dx[/tex]
Integramos la última integral y obtenemos:
[tex]int x^2 ln(x) , dx = frac{x^3}{3} ln(x) – frac{x^3}{9} + C[/tex]
Una vez más, tenemos una constante de integración [tex]C[/tex>]
Estos ejemplos ilustran cómo aplicar la técnica de integración por partes para resolver integrales más complejas. La elección de las funciones [tex]u[/tex] y [tex]dv[/tex] puede variar según la integral, por lo que es importante practicar y familiarizarse con el método.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo debo utilizar la integración por partes?
La integración por partes se utiliza cuando se enfrenta a una integral que es el producto de dos funciones. La técnica puede ser especialmente útil cuando se enfrenta a potencias de funciones logarítmicas, funciones trigonométricas o exponenciales.
¿Cuál es la fórmula general de la integración por partes?
La fórmula general de la integración por partes es:
[tex]int u , dv = uv – int v , du[/tex]
Donde [tex]u[/tex] y [tex]v[/tex] son funciones diferenciables y continuas.
¿Hay alguna manera de recordar la elección de las funciones [tex]u[/tex] y [tex]dv[/tex]?
No hay una regla estricta para elegir [tex]u[/tex] y [tex]dv[/tex], pero a menudo se utiliza la regla del LIATE:
- Logarítmica
- Inversa trigonométrica
- Algebraica (polinómica)
- Trigonométrica
- Exponencial
La regla sugiere elegir la función [tex]u[/tex] como prioridad, comenzando por las funciones más arriba en la lista y pasando a las siguientes en caso de no encontrar ninguna.
Espero que estos ejemplos resueltos de integrales por partes te hayan ayudado a comprender mejor esta técnica y cómo aplicarla en tus propios problemas de cálculo integral. Recuerda practicar y experimentar con diferentes ejercicios para fortalecer tu comprensión de este tema fundamental.