Ejercicios resueltos de integrales por partes

1. Introducción a las integrales por partes

Las integrales por partes son una técnica utilizada en cálculo para resolver integrales indefinidas que resultan difíciles de resolver utilizando métodos más simples. Esta técnica se basa en la regla del producto de la derivada de dos funciones.

La regla de integración por partes establece que la integral del producto de dos funciones, (uv), se puede expresar en términos de la integral de una función y la integral de la derivada de la otra función. Matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera:

[ int u,dv = uv – int v,du ]

Donde (u) y (v) son funciones diferenciables.

La aplicación de esta regla implica seleccionar adecuadamente las funciones (u) y (dv) para simplificar la integral y facilitar su resolución. En muchos casos, se escoge (u) como una función que se deriva fácilmente y se elige (dv) como una función cuya integral es más sencilla de calcular.

Una vez seleccionadas las funciones (u) y (dv), se procede a calcular las derivadas y las integrales respectivas. Luego, se aplica la fórmula de integración por partes para simplificar la integral original. Si es necesario, se repite el proceso una o más veces hasta obtener una integral que se pueda resolver fácilmente.

Las integrales por partes son muy útiles en una variedad de situaciones, como en la resolución de integrales de funciones polinómicas multiplicadas por funciones trigonométricas o exponenciales. A través de esta técnica, es posible resolver problemas que, de otra manera, serían complicados o incluso imposibles de resolver.

2. Ejercicio resuelto: Integración por partes de funciones trigonométricas

2. Ejercicio resuelto: Integración por partes de funciones trigonométricas

3. Ejercicio resuelto: Integrales por partes con exponenciales

En este ejercicio, resolveremos una integral utilizando el método de integración por partes con funciones exponenciales.

Para esto, utilizaremos la fórmula general de integración por partes:

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du

Lo primero que debemos hacer es identificar nuestras funciones u y dv. En este caso, elegimos:

u = f(x)

dv = g'(x) dx

La integral que resolveremos es:

∫ x * e^x dx

Tomamos:

u = x, lo cual implica du = dx

dv = e^x dx, lo cual implica v = ∫ e^x dx

Ahora, encontramos v al resolver la integral ∫ e^x dx. Recordemos que la integral de una función exponencial es igual a la función exponencial misma:

v = ∫ e^x dx = e^x

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ x * e^x dx = x * e^x - ∫ e^x dx

Simplificamos la expresión:

∫ x * e^x dx = x * e^x - e^x + C

Donde C es la constante de integración.

Por lo tanto, la integral de ∫ x * e^x dx es igual a x * e^x - e^x + C.

Este fue un ejemplo de cómo resolver una integral utilizando el método de integración por partes con funciones exponenciales. ¡Espero que te haya resultado útil!

Resumen:

En este ejercicio resolvimos la integral ∫ x * e^x dx utilizando el método de integración por partes con funciones exponenciales. Identificamos nuestras funciones u y dv, encontramos v al resolver la integral ∫ e^x dx, y aplicamos la fórmula de integración por partes para obtener la solución final x * e^x - e^x + C.

4. Ejercicio resuelto: Aplicaciones de las integrales por partes

En este artículo, resolveremos un ejercicio que nos permitirá aplicar el concepto de integración por partes en matemáticas.

Ejercicio:

Determine la integral definida de la función f(x) = x2 * ln(x) en el intervalo [1, e], utilizando el método de integración por partes.

La fórmula para la integración por partes es:

  1. u escoja una función para derivar
  2. dv escoja la otra función para integrar
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Aplicando esto al ejercicio propuesto, seleccionaremos:


u = ln(x), ya que al derivarla obtenemos du = (1/x) dx

dv = x2 dx, ya que al integrarla obtenemos v = (1/3) * x3

Usando la fórmula:

∫(u * dv) = u * v – ∫(v * du)

sustituiremos los valores obtenidos:

∫(x2 * ln(x) dx) = ln(x) * (1/3) * x3 – ∫((1/3) * x3 * (1/x) dx)

Realizando las operaciones necesarias:

∫((1/3) * x3 * (1/x) dx) = (1/3) ∫(x2 dx) = (1/3) * (x3/3)

Finalmente, evaluando la integral en el intervalo [1, e]:

1e(x2 * ln(x) dx) = ln(e) * (1/3) * e3 – (1/3) * (e3/3) – ln(1) * (1/3) * 13 + (1/3) * (13/3)

Simplificando, obtenemos:

1e(x2 * ln(x) dx) = (e3 – 1 – 3 * ln(e) + 1/3) / 9

Por lo tanto, la integral definida de la función f(x) = x2 * ln(x) en el intervalo [1, e] es (e3 – 1 – 3 * ln(e) + 1/3) / 9.

La integración por partes es una técnica importante en matemáticas que nos permite resolver integrales complicadas descomponiéndolas en partes más manejables. Es especialmente útil cuando una de las partes de la integral es fácil de integrar o de derivar.

Este ejercicio resuelto nos muestra cómo aplicar la integración por partes para encontrar la integral definida de una función específica. Es importante practicar este tipo de ejercicios para mejorar nuestras habilidades en cálculo integral.

5. Resumen y conclusiones

En este artículo hemos explorado diversas formas de utilizar etiquetas HTML para resaltar información importante en un texto.

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). Estos encabezados permiten organizar y jerarquizar el contenido dentro de un artículo. Por ejemplo, podríamos utilizar

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