Ejercicios resueltos de integrales por cambio de variable

1. ¿Qué es un cambio de variable en integrales?

Un cambio de variable en integrales es una técnica utilizada para simplificar ciertos cálculos de integrales, especialmente cuando se trata de funciones complicadas.

Se basa en la idea de reemplazar la variable de integración por una nueva variable auxiliar, de tal manera que la integral resultante sea más fácil de evaluar. Este cambio de variable se realiza mediante una función llamada “sustitución”.

Para efectuar un cambio de variable, es necesario cumplir ciertas condiciones, como que la función de sustitución sea diferenciable y tenga una inversa diferenciable. Además, también se deben tomar en cuenta los límites de integración, que deben ser modificados para reflejar el cambio de variable.

El objetivo de realizar un cambio de variable en una integral es simplificarla, para que sea más sencillo obtener su solución o para poder aplicar técnicas de integración específicas. Al utilizar esta técnica, es posible transformar integrales más complicadas en integrales más manejables, facilitando así su cálculo.

2. Pasos para resolver integrales por cambio de variable

Resolver integrales utilizando el método del cambio de variable es una técnica que nos permite simplificar el cálculo de integrales complicadas. A continuación, se presentan los pasos a seguir:

Paso 1:

Elegir una variable de cambio: Para resolver la integral, se debe elegir una nueva variable que sustituirá a la variable independiente en la integral. La elección de esta variable es crucial, ya que debe simplificar la integral. Generalmente, se elige una variable que aparezca en la expresión de la función o en la función misma.

Paso 2:

Determinar la relación entre las variables: Una vez elegida la nueva variable, se debe establecer una relación entre esta variable y la variable original. Esto se logra mediante una ecuación de cambio de variable, que nos permite expresar una en función de la otra.

Paso 3:

Calcular la derivada de la variable de cambio: Luego de establecer la relación entre las variables, se calcula la derivada de la variable de cambio. Esta derivada es necesaria para el siguiente paso.

Paso 4:

Sustituir en la integral: Se realiza la sustitución de la variable original por la variable de cambio, utilizando la relación establecida en el paso anterior. También se debe sustituir el elemento diferencial de integración (dx) por el correspondiente en la nueva variable (du).

Paso 5:

Resolver la integral simplificada: Con la nueva expresión de la integral después de la sustitución, se realiza la integración utilizando las técnicas adecuadas. En algunos casos, la integral puede simplificarse aún más mediante un cambio adicional o utilizando propiedades de las integrales.

Al seguir estos pasos, se logra simplificar el cálculo de integrales utilizando el método del cambio de variable. Esto nos permite resolver integrales más complejas de manera más eficiente.

3. Ejercicios resueltos de integrales por cambio de variable

En este artículo, resolveremos algunos ejercicios de integrales utilizando el método del cambio de variable. El cambio de variable es una técnica útil en cálculo integral que nos permite simplificar la integración y encontrar soluciones más fácilmente.

Ejercicio 1:

Dada la siguiente integral: ∫(x^2 + 1)dx, vamos a realizar el cambio de variable u = x^2 + 1.

  1. Paso 1:
    Realizamos la derivada del cambio de variable para obtener du/dx. En este caso, du/dx = 2x.
  2. Paso 2:
    Sustituimos x^2 + 1 por u en la integral. La integral se convierte en ∫u du.
  3. Paso 3:
    Integramos la nueva expresión ∫u du. La integral de u es u^2/2. Por lo tanto, la integral original se convierte en (x^2 + 1)^2 / 2 + C, donde C es la constante de integración.

Por lo tanto, la solución de la integral original ∫(x^2 + 1)dx es (x^2 + 1)^2 / 2 + C.


Ejercicio 2:

Resolvamos ahora la siguiente integral: ∫(3x^2 + 2x + 5)dx utilizando el método del cambio de variable. Realizaremos el siguiente cambio de variable: u = 3x^2 + 2x + 5.

  1. Paso 1:
    Derivamos el cambio de variable para obtener du/dx. En este caso, du/dx = 6x + 2.
  2. Paso 2:
    Sustituimos 3x^2 + 2x + 5 por u en la integral. La integral se convierte en ∫u du.
  3. Paso 3:
    Integramos la nueva expresión ∫u du. La integral de u es u^2/2. Por lo tanto, la integral original se convierte en (3x^2 + 2x + 5)^2 / 2 + C.

La solución de la integral original ∫(3x^2 + 2x + 5)dx es (3x^2 + 2x + 5)^2 / 2 + C.

4. Ejemplos de integrales resueltas con cambio de variable

En este artículo, exploraremos algunos ejemplos de integrales resueltas utilizando el cambio de variable. El cambio de variable es una técnica útil en el cálculo integral que nos permite simplificar la integración de funciones más complejas.

Ejemplo 1:

Calculemos la integral ∫ (2x + 3)^2 dx aplicando el cambio de variable u = 2x + 3. Primero, encontramos la derivada de u con respecto a x, que es du/dx = 2.

  1. Sustituyendo la variable: u = 2x + 3
  2. Sustituyendo la diferencial: du = 2dx
  3. Dividiendo por 2: (1/2) du = dx

Reescribimos la integral con la nueva variable y la diferencial:

∫ (2x + 3)^2 dx = ∫ (u)^2 (1/2) du

Integrando, obtenemos:

(1/2) ∫ u^2 du = (1/2) × (u^3/3) + C

Sustituyendo la variable original:

(1/2) × [(2x + 3)^3/3] + C


Por lo tanto, la integral del ejemplo 1 es (1/6) × (2x + 3)^3 + C.

Ejemplo 2:

Determinemos la integral ∫ e^x / (1 + e^x) dx utilizando el cambio de variable u = 1 + e^x. Calculamos la derivada de u con respecto a x, que es du/dx = e^x.

  1. Sustituyendo la variable: u = 1 + e^x
  2. Sustituyendo la diferencial: du = e^x dx

Reescribimos la integral con la nueva variable y la diferencial:

∫ e^x / (1 + e^x) dx = ∫ du / u

Integrando, obtenemos:

ln|u| + C

Sustituyendo la variable original:

ln|1 + e^x| + C

Por lo tanto, la integral del ejemplo 2 es ln|1 + e^x| + C.

Ejemplo 3:

Vamos a calcular la integral ∫ x^3 √(x^2 + 1) dx aplicando el cambio de variable u = x^2 + 1. Encontramos la derivada de u con respecto a x, que es du/dx = 2x.

  1. Sustituyendo la variable: u = x^2 + 1
  2. Sustituyendo la diferencial: du = 2x dx
  3. Dividiendo por 2: (1/2) du = x dx
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Reescribimos la integral con la nueva variable y la diferencial:

∫ x^3 √(x^2 + 1) dx = ∫ (x^2) (x √(x^2 + 1)) dx = ∫ (x^2) (1/2) √(u) du

Integrando, obtenemos:

(1/2) ∫ x^2 √(u) du = (1/2) × (2/5) (x^2 + 1)^(5/2) + C

Sustituyendo la variable original:

(1/5) (x^2 + 1)^(5/2) + C

Por lo tanto, la integral del ejemplo 3 es (1/5) (x^2 + 1)^(5/2) + C.

A través de estos ejemplos, hemos demostrado cómo el cambio de variable puede simplificar la integración de funciones más complejas. Esta técnica es especialmente útil cuando nos encontramos con expresiones que contienen funciones exponenciales o radicales.

5. Recomendaciones y consejos para resolver integrales por cambio de variable

Resolver integrales utilizando el método del cambio de variable puede ser una técnica muy útil, pero también puede resultar complicado si no se aplican las recomendaciones adecuadas. A continuación, se presentan algunos consejos para resolver este tipo de integrales:

1. Escoger una buena sustitución:

El primer paso para resolver una integral por cambio de variable es elegir una sustitución adecuada. Se debe buscar una función que al ser derivada, nos conduzca a una forma más simple de la integral original. Es importante considerar las propiedades de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

2. Evaluar el diferencial de la variable:

Una vez seleccionada la sustitución, es fundamental evaluar el diferencial de la variable huésped. Esto es, expresar el diferencial de la variable de la integral original en términos de la nueva variable. Esta acción ayudará a simplificar la integral y hacerla más manejable.

3. Cambiar los límites de integración:

Al realizar el cambio de variable, también se deben modificar los límites de integración. Esto se logra sustituyendo los valores originales en la nueva variable. No olvides ajustar los límites correctamente para evitar errores en el cálculo final.

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4. Simplificar la integral:

Una vez realizados los pasos anteriores, se debe simplificar la integral utilizando las propiedades de las funciones, las reglas de derivación y la simplificación algebraica. Esto puede ayudar a reducir la integral a una forma más manejable o a expresarla como una integral conocida.

5. Realizar la integración:

Una vez que la integral ha sido simplificada, se puede proceder a realizar la integración utilizando las técnicas conocidas para cada tipo de integral. Esta etapa puede implicar la aplicación de reglas de integración como la integración por partes, la sustitución trigonométrica o el uso de tablas de integrales.

6. Verificar y simplificar la solución obtenida:

Al finalizar el cálculo de la integral, es importante verificar la solución obtenida. Esto se puede hacer derivando la función antiderivada encontrada y comprobando si coincide con la función original. Si la solución es correcta, se puede proceder a simplificarla si es posible.

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Resolución de integrales por cambio de variable puede ser un desafío, pero siguiendo estos consejos y practicando regularmente, se puede mejorar la habilidad para manejar este tipo de ejercicios. ¡No te desanimes y sigue practicando!