Introducción
Las funciones lineales son un concepto fundamental dentro de las matemáticas, especialmente en el nivel de educación secundaria. En este artículo, exploraremos algunos ejercicios resueltos de funciones lineales diseñados específicamente para estudiantes de 2º de ESO.
¿Qué es una función lineal?
Antes de profundizar en los ejercicios, es importante comprender qué es una función lineal. En términos simples, una función lineal es una relación matemática entre dos variables en la que la variable dependiente es directamente proporcional a la variable independiente. Esto significa que cada cambio en la variable independiente se traduce en un cambio proporcional en la variable dependiente.
En la forma estándar de una función lineal, la ecuación se expresa como y = mx + b, donde m representa la pendiente de la función y b es el punto de intersección con el eje y (también conocido como ordenada al origen).
Ejercicio 1: Calcular la pendiente de una función lineal
Uno de los primeros pasos para comprender una función lineal es calcular su pendiente. La pendiente, representada por la letra m, indica cómo varía la función a medida que la variable independiente cambia en una unidad. Para calcular la pendiente, es necesario conocer dos puntos en la recta de la función.
Por ejemplo, supongamos que tenemos una función lineal representada por la ecuación y = 2x + 3. Para calcular la pendiente, tomamos los valores de dos puntos en la recta, por ejemplo, el punto (0,3) y el punto (2,7). Aplicando la fórmula de la pendiente, obtenemos:
Sustituyendo los valores de los puntos en la fórmula:
m = (7 – 3) / (2 – 0) = 4 / 2 = 2
Por lo tanto, la pendiente de esta función lineal es 2.
Ejercicio 2: Encontrar el punto de intersección con el eje y
Otro aspecto importante de las funciones lineales es encontrar el punto en el que la recta intersecta con el eje y, también conocido como ordenada al origen. Esto se representa en la ecuación de la función lineal como el valor de b.
Tomemos la misma función lineal anteriormente mencionada, y = 2x + 3. Para encontrar el punto de intersección con el eje y, simplemente establecemos la variable independiente (x) en 0 y resolvemos para y:
y = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje y es (0,3).
Ejercicio 3: Graficar una función lineal
Una forma visualmente efectiva de representar una función lineal es a través de una gráfica. Esto nos ayuda a comprender mejor cómo se relacionan las variables y cómo se ve la recta en relación con los ejes cartesianos.
Usando la función lineal y = 2x + 3 que hemos estado trabajando, podemos graficarla fácilmente asignando valores a la variable independiente y resolviendo para la variable dependiente. A continuación, se muestra una tabla que muestra algunos puntos que se pueden utilizar para trazar la recta:
| x | y |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
Con estos puntos, podemos trazar una línea recta que los conecte. Cada punto representa un par ordenado (x, y) en el plano cartesiano.
Ejercicio 4: Calcular la imagen de un valor dado
Además de calcular la pendiente y el punto de intersección, es útil poder determinar la imagen de un valor dado en la función lineal. La imagen se refiere al valor de la variable dependiente que corresponde a un valor específico de la variable independiente.
Para calcular la imagen de un valor dado, simplemente sustituimos ese valor en la ecuación de la función lineal y resolvemos para la variable dependiente. Por ejemplo, utilizando la función lineal y = 2x + 3, si queremos encontrar la imagen de x = 4, hacemos lo siguiente:
y = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
Por lo tanto, cuando x = 4, la imagen es y = 11.
Ejercicio 5: Resolver problemas de aplicación utilizando funciones lineales
Las funciones lineales también son ampliamente utilizadas en problemas de aplicación práctica, donde se busca relacionar los elementos de una situación con una ecuación lineal.
Consideremos el siguiente problema: Un taxista cobra una tarifa fija de $5 más $2 por cada kilómetro recorrido. Si deseamos determinar el costo total de un viaje de 10 kilómetros, podemos plantear una función lineal de la siguiente manera:
C(x) = 5 + 2x
Donde x representa la cantidad de kilómetros y C(x) representa el costo total del viaje. Para calcular el costo del viaje de 10 kilómetros, simplemente sustituimos x = 10 en la ecuación:
C(10) = 5 + 2(10) = 5 + 20 = 25
Por lo tanto, el costo total del viaje de 10 kilómetros sería de $25.
Ejercicio 6: Encontrar la pendiente y el punto de intersección en problemas de aplicación
En algunas situaciones de aplicación práctica, no se proporciona la ecuación de la función lineal, sino que se presentan datos que nos permiten determinar la pendiente y el punto de intersección.
Por ejemplo, supongamos que se nos da la información de que el costo de alquilar una bicicleta durante 3 horas es de $12, y el costo de alquilarla durante 5 horas es de $18. Podemos utilizar esta información para encontrar la pendiente y el punto de intersección.
Primero, establecemos los datos conocidos en pares ordenados (x, y), donde x representa el número de horas y y representa el costo correspondiente:
(3, 12) y (5, 18)
A continuación, podemos calcular la pendiente utilizando la fórmula:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (18 – 12) / (5 – 3) = 6 / 2 = 3
Por lo tanto, la pendiente es 3. Ahora, podemos encontrar el punto de intersección utilizando la ecuación de la pendiente:
y = mx + b
12 = 3(3) + b
12 = 9 + b
b = 12 – 9 = 3
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje y es (0,3).
Ejercicio 7: Situaciones con pendiente negativa
Hasta ahora, hemos trabajado con ejemplos en los que la pendiente de la función lineal es positiva. Sin embargo, también encontraremos situaciones en las que la pendiente es negativa.
Si la pendiente es negativa, la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. Esto indica que a medida que la variable independiente aumenta, la variable dependiente disminuye.
Por ejemplo, consideremos una función lineal con la ecuación y = -2x + 5. La pendiente en este caso es -2, lo que significa que por cada aumento de 1 unidad en la variable independiente, la variable dependiente disminuye en 2 unidades.
Ejercicio 8: Resolver problemas de proporcionalidad directa
Las funciones lineales también se utilizan en problemas de proporcionalidad directa, donde una variable es directamente proporcional a la otra. Esto significa que a medida que una variable aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción.
Por ejemplo, supongamos que se nos da la información de que 4 naranjas cuestan $2. Si queremos determinar cuánto costarán 10 naranjas, podemos plantear una función lineal:
C(n) = (2/4)n
Donde n representa la cantidad de naranjas y C(n) representa el costo total en dólares. Para calcular el costo de 10 naranjas, simplemente sustituimos n = 10 en la ecuación:
C(10) = (2/4) * 10 = 20 / 4 = 5
Por lo tanto, el costo total de 10 naranjas sería de $5.
Ejercicio 9: Resolver problemas de proporcionalidad inversa
Las funciones lineales también se utilizan en problemas de proporcionalidad inversa, donde una variable es inversamente proporcional a la otra. Esto significa que a medida que una variable aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.
Por ejemplo, supongamos que se nos da la información de que 6 trabajadores pueden realizar un trabajo en 8 días. Si queremos determinar cuántos trabajadores se necesitan para terminar el trabajo en 4 días, podemos plantear una función lineal inversa:
T(d) = k / d
Donde d representa la cantidad de días y T(d) representa el número de trabajadores necesarios. Utilizando los datos proporcionados y la ecuación, podemos resolver para la constante de proporcionalidad (k):
6 = k / 8
k = 6 * 8 = 48
Ahora podemos utilizar la constante de proporcionalidad para determinar el número de trabajadores necesarios para completar el trabajo en 4 días:
T(4) = 48 / 4 = 12
Por lo tanto, se necesitarían 12 trabajadores para terminar el trabajo en 4 días.
Ejercicio 10: Resolver problemas de incremento o descuento lineal
Otra aplicación común de las funciones lineales es resolver problemas que involucran incrementos o descuentos lineales en una cantidad. Esto se utiliza en situaciones como ajustes salariales, precios de venta o descuentos en comercios.
Por ejemplo, supongamos que un artículo tiene un precio original de $50 y está en oferta con un descuento del 20%. Para calcular el precio de venta con el descuento aplicado, podemos utilizar una función lineal:
P = 50 – 0.20 * 50 = 50 – 10 = 40
Por lo tanto, el precio de venta con el descuento aplicado sería de $40.
Ejercicio 11: Interpretar el significado de la pendiente en situaciones prácticas
La pendiente de una función lineal también tiene un significado práctico en diferentes contextos. En problemas de aplicación, la pendiente puede representar una tasa de cambio, una velocidad o una proporción.
Por ejemplo, consideremos una función lineal que representa la altura de una planta a medida que pasa el tiempo. Si la pendiente de esta función es 0.5, esto significaría que la altura de la planta aumenta en 0.5 unidades por cada unidad de tiempo transcurrida.
Ejercicio 12: Determinar la pendiente y punto de intersección a partir de una gráfica
En algunas ocasiones, podemos obtener la pendiente y el punto de intersección de una función lineal al observar su gráfica. Esto puede ser útil cuando la ecuación de la función lineal no se conoce de antemano.
Consideremos la siguiente gráfica lineal:
Para determinar la pendiente, necesitamos elegir dos puntos en la recta y aplicar la fórmula de la pendiente:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Seleccionemos los puntos (2,5) y (5,1) en la gráfica:
m = (1 – 5) / (5 – 2) = -4 / 3
Por lo tanto, la pendiente de la función lineal es -4/3.
Para encontrar el punto de intersección con el eje y, simplemente observamos el punto donde la recta cruza el eje y. En este caso, parece ser alrededor de y = 6.
Ejercicio 13: Reconocer funciones lineales en situaciones prácticas
Es importante poder reconocer funciones lineales en situaciones prácticas para poder aplicar los conceptos y resolver problemas. A menudo, se puede identificar una función lineal cuando hay una relación directa y proporcional entre dos variables.
Por ejemplo, supongamos que se nos presenta la siguiente situación: una tienda de ropa tiene una promoción donde todos los artículos tienen un descuento del 20% sobre el precio original. Para determinar el precio de venta con el descuento aplicado, podemos utilizar una función lineal:
P = 0.8 * Poriginal
Donde P representa el precio de venta y Poriginal representa el precio original del artículo.
En este caso, podemos ver que hay una relación directa y proporcional entre el precio de venta y el precio original, lo que indica que estamos trabajando con una función lineal.
Ejercicio 14: Resolver problemas utilizando la fórmula de la pendiente
La fórmula de la pendiente es una herramienta esencial al resolver problemas que involucran funciones lineales. Nos permite determinar la tasa de cambio o inclinación de la recta.
Por ejemplo, supongamos que realizamos una actividad física y registramos la distancia recorrida en función del tiempo transcurrido. Si la ecuación de la función lineal es d = 3t + 10, donde d representa la distancia recorrida y t representa el tiempo, podemos utilizar la fórmula de la pendiente para determinar la tasa de cambio de la distancia en relación con el tiempo.
En este caso, la pendiente es 3, lo que significa que por cada unidad de tiempo que pasa, la distancia recorrida aumenta en 3 unidades.</