Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales para 1 de bachillerato

1. Ejercicio 1: Resolver ecuación exponencial con una sola incógnita

Para resolver una ecuación exponencial con una sola incógnita, debemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1:

Identificar la base y el exponente de la ecuación. La ecuación debe tener la forma a^x = b, donde “a” es la base y “b” es el resultado de la ecuación.

Paso 2:

Aislar la variable “x” en un solo lado de la ecuación. Para hacer esto, podemos utilizar logaritmos. Tomamos logaritmo en ambos lados de la ecuación:

log(a^x) = log(b)

Paso 3:

Aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación. Recordemos las siguientes propiedades:

• log(a^x) = x * log(a)
• log(a * b) = log(a) + log(b)

Utilizando estas propiedades, podemos reescribir la ecuación como:

x * log(a) = log(b)

Paso 4:

Despejar la variable “x” dividiendo ambos lados de la ecuación por log(a):

x = log(b) / log(a)

Paso 5:

Finalmente, calculamos el valor de “x” utilizando una calculadora o software de matemáticas.

2. Ejercicio 2: Resolver ecuación exponencial con bases iguales

En este ejercicio, nos enfocaremos en resolver ecuaciones exponenciales donde las bases son iguales. Recordemos que una ecuación exponencial tiene la forma (b^x=c), donde (b) es la base, (x) es el exponente y (c) es el resultado.

Paso 1: Asegúrate de que ambas bases sean iguales. Si no es así, no podremos resolver la ecuación utilizando este método.

Paso 2: Iguala los exponentes. Para hacer esto, es posible que necesites simplificar los términos antes. Por ejemplo, si tienes la ecuación (3^{2x+1} = 9), primero simplifica el exponente dentro del paréntesis: (2x+1=2).

Paso 3: Resuelve la ecuación resultante. En nuestro ejemplo, (2x+1=2) se convierte en (2x=1), y al simplificar se obtiene (x=frac{1}{2}).

Paso 4: Verifica tu respuesta sustituyendo el valor encontrado de (x) en la ecuación original. Si ambas partes de la ecuación son iguales, has resuelto correctamente la ecuación exponencial.

Recuerda que es importante practicar estos ejercicios para familiarizarte con el proceso de resolución de ecuaciones exponenciales. ¡Sigue practicando y te convertirás en un experto en poco tiempo!

3. Ejercicio 3: Resolver ecuación exponencial con bases diferentes

En este ejercicio, estaremos resolviendo una ecuación exponencial en la que las bases son diferentes. Este tipo de ejercicio suele presentar un desafío adicional, ya que debemos encontrar una forma de igualar las bases para poder resolver la ecuación.

Para comenzar, vamos a revisar el enunciado de la ecuación. Supongamos que tenemos una ecuación exponencial de la forma:

5^x = 2^x+3

Nuestro objetivo es encontrar el valor de “x” que satisface esta ecuación. Para hacerlo, utilizaremos propiedades de las potencias para igualar las bases. En este caso, podemos igualar las bases 5 y 2 elevándolas a la misma potencia, de esta manera:

5^x = (5¹)^x = 5^x

2^x+3 = (2³)^x = 8^x

Una vez igualadas las bases, podemos igualar las potencias. Por lo tanto, tenemos la ecuación:

5^x = 8^x

A partir de aquí, podemos utilizar diversos métodos para resolver la ecuación. Uno de los más comunes es tomar logaritmo en ambos lados de la ecuación. Aquí utilizaremos logaritmo base 10:

log₁₀(5^x) = log₁₀(8^x)

Aplicando la propiedad del logaritmo de las potencias, podemos escribir:

x * log₁₀(5) = x * log₁₀(8)

Dividiendo ambos lados de la ecuación por “x”, obtenemos:

log₁₀(5) = log₁₀(8)

Ahora, podemos utilizar una calculadora o una tabla de logaritmos para obtener los valores de los logaritmos. En este caso, encontramos que log₁₀(5) ≈ 0.699 y log₁₀(8) ≈ 0.903.

Al comparar los valores de los logaritmos, vemos que no son iguales. Esto significa que no hay una solución única para la ecuación original. En este caso, la ecuación es inconsistente y no se puede resolver.

En resumen, al resolver una ecuación exponencial con bases diferentes, debemos igualar las bases y luego igualar las potencias. Posteriormente, podemos utilizar métodos como tomar logaritmos para resolver la ecuación. Sin embargo, es importante tener en cuenta que no siempre habrá una solución única para este tipo de ecuaciones.

4. Ejercicio 4: Resolver sistema de ecuaciones exponenciales

En este ejercicio, nos enfrentamos a un sistema de ecuaciones exponenciales que debemos resolver.

Para resolver este tipo de sistemas, necesitamos utilizar propiedades de los exponentes, como la propiedad de multiplicación de potencias de la misma base y la propiedad de igualar las bases y los exponentes.

El sistema de ecuaciones exponenciales se ve de la siguiente manera:

• Ecuación 1: (a^x = b)
• Ecuación 2: (c^y = d)

Nuestro objetivo es encontrar los valores de (x) e (y) que satisfacen ambas ecuaciones.

Para resolver la ecuación 1, podemos utilizar la propiedad de logaritmos:

(x = log_a(b))

Para resolver la ecuación 2, aplicamos la misma propiedad:

(y = log_c(d))

Al utilizar logaritmos en ambos lados de las ecuaciones, podemos deshacernos de los exponentes y encontrar los valores de (x) e (y).

Una vez obtenidos los valores, podemos comprobar que cumplen ambas ecuaciones al sustituirlos de vuelta en las ecuaciones originales.

Con esto hemos resuelto el sistema de ecuaciones exponenciales. Recuerda siempre verificar tus soluciones y comprobar que satisfacen todas las ecuaciones mencionadas.

5. Ejercicio 5: Aplicación de ecuaciones exponenciales en problemas de la vida cotidiana

En este ejercicio vamos a explorar cómo se aplican las ecuaciones exponenciales en problemas de la vida cotidiana. Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que una variable está elevada a una potencia.

Uno de los problemas más comunes en los que se utilizan las ecuaciones exponenciales es en el crecimiento de poblaciones. Por ejemplo, podemos estudiar cómo crece una población de bacterias en un frasco de cultivo.

Población de bacterias en un frasco de cultivo

Supongamos que inicialmente tenemos 100 bacterias en el frasco de cultivo. Sabemos que la tasa de crecimiento de las bacterias es del 10% diario. En este caso, podemos utilizar la siguiente ecuación exponencial:

P(t) = P(0) * (1+r)^t

Donde P(t) es la población de bacterias en un momento t, P(0) es la población inicial, r es la tasa de crecimiento (en este caso 0.10) y t es el tiempo transcurrido.

Aplicando la fórmula a nuestro problema, podemos calcular la población de bacterias después de 5 días:

1. P(5) = 100 * (1+0.10)^5
2. P(5) = 100 * (1.10)^5
3. P(5) = 100 * 1.61
4. P(5) = 161

Por lo tanto, después de 5 días, la población de bacterias en el frasco de cultivo sería de 161 bacterias.

Este es solo un ejemplo de cómo se aplican las ecuaciones exponenciales en problemas de la vida cotidiana. Estas ecuaciones también se utilizan en la economía, la física, la química y muchas otras áreas.

En resumen, las ecuaciones exponenciales son herramientas poderosas para modelar y resolver problemas de crecimiento en la vida cotidiana. Es importante entender cómo se aplican y cómo interpretar los resultados obtenidos.