Ejercicios resueltos de cuerpos de revolución para 3º de ESO

Introducción

En este artículo, vamos a resolver una serie de ejercicios relacionados con cuerpos de revolución, específicamente diseñados para estudiantes de tercer año de Educación Secundaria Obligatoria (ESO). Los cuerpos de revolución son una forma interesante de estudiar geometría, ya que implican la rotación de una figura alrededor de un eje para crear una forma tridimensional. A través de estos ejercicios, los estudiantes podrán poner en práctica sus conocimientos de matemáticas y desarrollar habilidades clave en el proceso.

Conceptos básicos de cuerpos de revolución

Antes de comenzar con los ejercicios, es importante entender algunos conceptos básicos relacionados con los cuerpos de revolución. Un cuerpo de revolución se crea al rotar una figura plana alrededor de un eje. El resultado es una forma tridimensional, que puede ser una esfera, un cono, un cilindro, entre otros. El eje de rotación puede ser cualquier línea recta, y la figura puede ser cualquier región plana delimitada por una curva cerrada.

Ejercicio 1: Volumen de un cilindro

Empecemos con un ejercicio sencillo para comprender cómo calcular el volumen de un cilindro. Supongamos que tenemos un cilindro con un radio de 5 cm y una altura de 10 cm. ¿Cuál es el volumen de este cilindro?

Para resolver este ejercicio, utilizaremos la fórmula del volumen de un cilindro: V = π * r^2 * h, donde π es una constante aproximada a 3.14, r es el radio del cilindro y h es la altura del cilindro.

Sustituyendo los valores dados, tenemos V = 3.14 * 5^2 * 10. Al simplificar la expresión, obtenemos V = 3.14 * 25 * 10 = 785 cm³.

Por lo tanto, el volumen de este cilindro es de 785 cm³.

Ejercicio 2: Área de la superficie de una esfera

Ahora, vamos a resolver un ejercicio relacionado con el área de la superficie de una esfera. Supongamos que tenemos una esfera con un radio de 8 cm. ¿Cuál es el área de la superficie de esta esfera?

El área de la superficie de una esfera se puede calcular utilizando la fórmula: A = 4 * π * r^2, donde π es una constante aproximada a 3.14 y r es el radio de la esfera.

Sustituyendo los valores dados, tenemos A = 4 * 3.14 * 8^2. Al simplificar la expresión, obtenemos A = 4 * 3.14 * 64 = 803.84 cm².

Por lo tanto, el área de la superficie de esta esfera es de 803.84 cm².

Más ejercicios resueltos de cuerpos de revolución

Ahora que hemos comprendido los conceptos básicos y resuelto algunos ejercicios, vamos a continuar con más ejercicios de cuerpos de revolución para poner en práctica nuestros conocimientos.

Ejercicio 3: Volumen de un cono truncado

En este ejercicio, nos enfrentamos a un cono truncado. Supongamos que tenemos un cono con un radio de 6 cm y una altura de 10 cm, y la parte superior del cono (la base) se ha sido cortada. ¿Cuál es el volumen de este cono truncado?

Para calcular el volumen de un cono truncado, utilizaremos la fórmula: V = (1/3) * π * h * (r1^2 + r2^2 + r1 * r2), donde h es la altura del cono, r1 es el radio de la base del cono antes de ser truncado y r2 es el radio de la parte superior del cono después de ser truncado.

Sustituyendo los valores dados, tenemos V = (1/3) * 3.14 * 10 * (6^2 + r2^2 + 6 * r2).

Para encontrar el valor de r2, podemos utilizar el teorema de Pitágoras. Si consideramos el triángulo formado por el radio r1, el radio r2 y la altura del cono, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para obtener la relación: r2^2 + (10^2) = (6 + r2)^2.

Resolviendo la ecuación, obtendremos r2 ≈ 2.40 cm.

Sustituyendo este valor en la fórmula original, tenemos V = (1/3) * 3.14 * 10 * (6^2 + 2.40^2 + 6 * 2.40).

Al simplificar la expresión, obtenemos V ≈ 452.93 cm³.

Por lo tanto, el volumen de este cono truncado es de aproximadamente 452.93 cm³.

Ejercicio 4: Área de la superficie de un sólido generado por una curva

En este ejercicio, vamos a calcular el área de la superficie de un sólido generado por una curva. Supongamos que tenemos una curva dada por la ecuación y = x^2 y se rota alrededor del eje x en el intervalo [0, 2]. ¿Cuál es el área de la superficie de este sólido?

Para calcular el área de la superficie de un sólido generado por una curva, utilizaremos la fórmula: A = 2 * π * ∫[a,b] y * sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx, donde a y b son los límites del intervalo en el eje x, y dy/dx es la derivada de la función y respecto a x.

En este caso, tenemos la función y = x^2. Calculamos la derivada dy/dx: dy/dx = 2 * x.

Aplicando la fórmula, tenemos A = 2 * π * ∫[0,2] x^2 * sqrt(1 + (2 * x)^2) dx.

Resolviendo la integral, obtenemos A = 2 * π * [1/6 * (3 * sqrt(5) + sinh^(-1)(2 * x))]_[0,2].

Al sustituir los valores en la fórmula, obtenemos A = 2 * π * [1/6 * (3 * sqrt(5) + sinh^(-1)(4) – sinh^(-1)(0))].

Aplicando las funciones trigonométricas inversas, obtenemos A ≈ 30.1465.

Por lo tanto, el área de la superficie de este sólido generado por la curva es de aproximadamente 30.1465.

Conclusiones

En este artículo, hemos resuelto una serie de ejercicios de cuerpos de revolución, abarcando temas como el volumen de cilindros y conos, el área de la superficie de esferas y sólidos generados por curvas. A través de estos ejercicios, los estudiantes de tercer año de ESO pueden poner en práctica sus conocimientos de geometría y desarrollar habilidades clave en el proceso.

Esperamos que este artículo haya sido útil para comprender y resolver ejercicios de cuerpos de revolución. Recuerda practicar regularmente para fortalecer tus habilidades matemáticas. ¡Buena suerte!

Preguntas frecuentes

1. ¿Puedo aplicar estos conceptos a problemas de la vida real?

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Sí, los conceptos de cuerpos de revolución son aplicables a muchos problemas de la vida real, como el diseño de botellas, la construcción de estructuras cilíndricas y la intersección de objetos en 3D.

2. ¿Hay alguna fórmula general para calcular el volumen de cualquier cuerpo de revolución?

Existen fórmulas específicas para cada tipo de cuerpo de revolución, como el cilindro, el cono y la esfera. Estas fórmulas se basan en las propiedades geométricas de cada figura y su eje de rotación.

3. ¿Cómo puedo mejorar mis habilidades en la resolución de problemas de cuerpos de revolución?

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La práctica regular es clave para mejorar tus habilidades en la resolución de problemas de cuerpos de revolución. Intenta resolver una variedad de ejercicios, busca recursos adicionales en línea y consulta a tus profesores en caso de dudas o dificultades.