Ejercicios resueltos de continuidad de funciones

1. Introducción a la continuidad de funciones

La continuidad de funciones es un concepto fundamental en el análisis matemático que nos permite estudiar el comportamiento de una función en un determinado intervalo. En este artículo, exploraremos ejercicios resueltos para comprender mejor este concepto y su aplicación en la resolución de problemas.

2. Definición de continuidad

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Antes de sumergirnos en los ejercicios, es importante entender qué significa que una función sea continua. En términos simples, decimos que una función es continua en un punto si no tiene saltos ni quiebres en su gráfica. Formalmente, una función f(x) es continua en un punto a si:

– El límite de la función cuando x tiende a a existe.

– El valor de la función en a es igual al límite anterior.

3. Ejercicio 1: Determinar la continuidad de una función

Supongamos que tenemos la siguiente función:

f(x) = {
   x + 2 si x < 3,
   4x - 1 si x ≥ 3
}

Para determinar la continuidad de esta función, debemos verificar si cumple con las dos condiciones mencionadas anteriormente. Primero, evaluamos el límite de la función en x=3:

lim(x→3-) f(x) = lim(x→3-) (x + 2) = 5
lim(x→3+) f(x) = lim(x→3+) (4x - 1) = 11

Observamos que los límites laterales son diferentes, por lo que la función no es continua en x=3.

4. Ejercicio 2: Encontrar los puntos de continuidad

Ahora, consideremos la función siguiente:

f(x) = {
   x^2 si x < 0,
   2x si x ≥ 0
}

Queremos encontrar los puntos donde esta función es continua. Para hacerlo, debemos evaluar los límites laterales en los puntos críticos (donde cambia la definición de la función):

lim(x→0-) f(x) = lim(x→0-) (x^2) = 0
lim(x→0+) f(x) = lim(x→0+) (2x) = 0

En este caso, los límites laterales son iguales en x=0, por lo que la función es continua en ese punto. Además, la función es continua en todos los demás puntos de su dominio.

5. Ejercicio 3: Continuidad en intervalos

Ahora, vamos a explorar la continuidad de una función en un intervalo específico. Tomemos la siguiente función:

f(x) = 5x^2 - 3x + 2
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Para determinar en qué intervalos la función es continua, primero identificamos los puntos críticos donde la función puede no ser continua. En este caso, la función es una parábola, por lo que no tiene puntos críticos. Esto implica que la función es continua en todos los números reales.

6. Ejercicio 4: Continuidad y límites

En este ejercicio, exploraremos el vínculo entre la continuidad de una función y sus límites. Consideremos la siguiente función:

f(x) = {
   sin(x) si x < 0,
   cos(x) si x ≥ 0
}

Para determinar si esta función es continua, debemos evaluar los límites laterales en x=0:

lim(x→0-) f(x) = lim(x→0-) sin(x) = 0
lim(x→0+) f(x) = lim(x→0+) cos(x) = 1

Los límites laterales son diferentes en x=0, por lo que la función no es continua en ese punto. Sin embargo, la función es continua en todos los demás puntos de su dominio.

7. Ejercicio 5: Continuidad en funciones racionales

Las funciones racionales también pueden presentar casos interesantes de continuidad. Consideremos la siguiente función:

f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)

Nos interesa determinar qué ocurre en el punto x=1. Evaluamos el límite de la función en ese punto:

lim(x→1) f(x) = lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = 2

El límite existe y es igual a 2, por lo que la función es continua en x=1. Sin embargo, debemos tener precaución ya que la función tiene una discontinuidad removible en ese punto.

8. Ejercicios adicionales

Hasta ahora, hemos explorado algunas situaciones comunes en la continuidad de funciones. Sin embargo, existen muchos más ejercicios y casos interesantes para estudiar en detalle. Te animo a que sigas practicando y resolviendo problemas adicionales para comprender mejor este concepto fundamental en el análisis matemático.

Conclusión

En resumen, la continuidad de funciones es un concepto clave para analizar y comprender el comportamiento de una función en un intervalo. A través de los ejercicios resueltos presentados en este artículo, hemos explorado diferentes situaciones donde se aplica este concepto. Espero que esta guía te haya ayudado a profundizar tu comprensión sobre la continuidad de funciones y cómo resolver problemas relacionados.

Preguntas frecuentes

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1. ¿Qué sucede si una función no es continua en un punto?

Si una función no es continua en un punto, significa que presenta algún tipo de discontinuidad en ese punto. Puede haber diversas causas para esta discontinuidad, como una interrupción abrupta en la gráfica de la función o una divergencia en los límites laterales.

2. ¿Cuándo se dice que una función es continua en un intervalo?

Una función se dice continua en un intervalo si es continua en todos los puntos de ese intervalo. Esto implica que la función no presenta saltos, quiebres o discontinuidades en ninguno de los puntos dentro del intervalo.

3. ¿Por qué es importante estudiar la continuidad de funciones?

El estudio de la continuidad de funciones es fundamental en el análisis matemático debido a su estrecha relación con otros conceptos esenciales, como los límites y la derivada. Comprender y dominar la continuidad de funciones nos permite resolver problemas de manera más precisa y profunda, así como establecer propiedades y teoremas sobre las funciones.

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