Ejercicios de geometría analítica para 1º de bachillerato

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La geometría analítica es una rama de la matemática que combina conceptos geométricos con herramientas algebraicas. En 1º de bachillerato, los estudiantes comienzan a familiarizarse con esta disciplina que les permitirá estudiar y comprender las propiedades de las figuras y operaciones en el plano y el espacio. A continuación, presentaremos una serie de ejercicios de geometría analítica dirigidos a estudiantes de primer año de bachillerato para que puedan practicar y consolidar sus conocimientos en esta área.

1. Rectas en el plano cartesiano

Comenzaremos por comprender la representación de una recta en el plano cartesiano. Para ello, recordemos que una recta puede ser expresada mediante una ecuación de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es el término independiente. A partir de esta información, realicemos los siguientes ejercicios:

a) Dada la ecuación y = 2x + 3, determina la pendiente y el término independiente de la recta.

b) Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

2. Distancia entre dos puntos

Para medir la distancia entre dos puntos en el plano, utilizamos el teorema de Pitágoras. Si tenemos dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), la fórmula para calcular la distancia entre ellos es:

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d = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)

Veamos algunos ejemplos de ejercicios relacionados con la distancia entre dos puntos:

a) Calcula la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5, 7).

b) Determina el punto medio del segmento de extremos A(-1, 2) y B(3, -4).

3. Áreas de figuras geométricas

La geometría analítica también nos permite calcular áreas de diferentes figuras geométricas. Para esto, utilizamos diferentes fórmulas dependiendo de la figura que estamos considerando. Practiquemos algunos ejercicios:

a) Calcula el área de un triángulo con vértices en los puntos A(1, 3), B(4, -2) y C(-2, 1).

b) Determina el área de un círculo de radio 5 unidades con centro en el punto P(2, -1).

4. Paralelismo y perpendicularidad

Otro concepto fundamental en geometría analítica es el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas. Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, y son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Practiquemos algunos ejercicios:

a) Dadas las rectas r1: y = 2x + 5 y r2: y = -2x – 1, determina si son paralelas o perpendiculares.

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b) Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a la recta y = 3x + 2 y que pasa por el punto P(1, -1).

5. Planos en el espacio tridimensional

Finalmente, exploremos la representación y propiedades de los planos en el espacio tridimensional. Un plano puede ser expresado mediante una ecuación de la forma ax + by + cz + d = 0, donde a, b y c son coeficientes y d es el término independiente. Veamos algunos ejemplos de ejercicios:

a) Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, 2, -1), B(-2, 3, 4) y C(0, -1, 2).

b) Determina si el punto P(2, -1, 3) pertenece al plano de ecuación 2x – y + z = 5.

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Estos ejercicios son solo una pequeña muestra de los conceptos que se pueden abordar en el estudio de geometría analítica en 1º de bachillerato. Recuerda practicar regularmente para fortalecer tus habilidades y comprensión en esta materia. ¡Buena suerte!