¿Qué es el crecimiento y el decrecimiento?
El crecimiento y el decrecimiento son conceptos fundamentales en matemáticas que se estudian en el segundo año de bachillerato. Estos conceptos están relacionados con las funciones, que son una parte fundamental de la geometría analítica y el cálculo. A continuación, exploraremos algunos ejercicios prácticos que te ayudarán a comprender mejor estos conceptos.
1. Ejercicio de crecimiento
Comencemos con un ejercicio de crecimiento. Supongamos que tenemos una función f(x) = 2x + 3 y queremos determinar si esta función crece o no en el intervalo [0, 5]. Para hacer esto, podemos calcular la derivada de la función y analizar su signo.
Procedimiento:
- Calculemos la derivada de la función f(x) = 2x + 3:
- Analicemos el signo de la derivada en el intervalo [0, 5]:
f'(x) = 2
La derivada f'(x) = 2 es siempre positiva, lo que indica que la función f(x) = 2x + 3 crece en todo el intervalo [0, 5].
Este ejercicio nos muestra cómo determinar si una función crece o no en un intervalo dado. Al calcular la derivada y analizar su signo, podemos obtener información valiosa sobre el comportamiento de la función.
2. Ejercicio de decrecimiento
Ahora pasemos a un ejercicio de decrecimiento. Supongamos que tenemos una función g(x) = -3x^2 + 5x – 2 y queremos determinar si esta función decrece o no en el intervalo [0, 4]. De manera similar al ejercicio anterior, podemos utilizar la derivada para responder esta pregunta.
Procedimiento:
- Calculemos la derivada de la función g(x) = -3x^2 + 5x – 2:
- Analicemos el signo de la derivada en el intervalo [0, 4]:
g'(x) = -6x + 5
Para encontrar los puntos críticos de la función, igualamos la derivada a cero:
-6x + 5 = 0
x = 5/6
Analizando el signo de la derivada en el intervalo:
- Para x < 5/6, la derivada es positiva, lo que indica que la función g(x) = -3x^2 + 5x – 2 decrece en este intervalo.
- Para x > 5/6, la derivada es negativa, lo que indica que la función g(x) = -3x^2 + 5x – 2 decrece en este intervalo.
Al analizar el signo de la derivada, podemos determinar si una función decrece o no en un intervalo específico. En este ejercicio, encontramos que la función g(x) = -3x^2 + 5x – 2 decrece en el intervalo [0, 4].
3. Ejercicio práctico
Para practicar más ejercicios de crecimiento y decrecimiento, consideremos la siguiente función:
h(x) = x^3 – 4x^2 + 3x + 2
Queremos determinar en qué intervalos de la recta real esta función crece o decrece. Para hacer esto, necesitamos calcular su derivada y analizar su signo.
Procedimiento:
- Calculemos la derivada de la función h(x) = x^3 – 4x^2 + 3x + 2:
- Analicemos el signo de la derivada:
h'(x) = 3x^2 – 8x + 3
Para encontrar los puntos críticos de la función, igualamos la derivada a cero:
3x^2 – 8x + 3 = 0
x = 1 o x = 3/2
Analizando el signo de la derivada en los intervalos:
- Para x < 1, la derivada es negativa, lo que indica que la función h(x) = x^3 – 4x^2 + 3x + 2 decrece en este intervalo.
- Para 1 < x < 3/2, la derivada es positiva, lo que indica que la función h(x) = x^3 – 4x^2 + 3x + 2 crece en este intervalo.
- Para x > 3/2, la derivada es negativa, lo que indica que la función h(x) = x^3 – 4x^2 + 3x + 2 decrece en este intervalo.
Al analizar la derivada y su signo, encontramos que la función h(x) = x^3 – 4x^2 + 3x + 2 crece en el intervalo (1, 3/2) y decrece en los intervalos (-∞, 1) y (3/2, +∞).
4. Conclusiones
En este artículo, hemos explorado ejercicios prácticos de crecimiento y decrecimiento en matemáticas. Aprendimos cómo determinar si una función crece o decrece en un intervalo específico utilizando la derivada y analizando su signo. Este conocimiento es fundamental para comprender y estudiar las funciones en geometría analítica y cálculo.
Espero que estos ejercicios hayan sido útiles para tu comprensión de los conceptos de crecimiento y decrecimiento en matemáticas. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!