Ejemplos de la ecuación de una parábola

¿Qué es una parábola?

Una parábola es una curva en el plano cartesiano que se origina a partir de una función cuadrática. Es una de las tres formas principales de las ecuaciones cónicas, junto con la elipse y la hipérbola. Una parábola tiene una forma característica de “U” o “nido de pájaro” y puede abrir hacia arriba o hacia abajo.

Ecuación general de una parábola

La ecuación general de una parábola es de la forma:

y = ax² + bx + c

Donde a, b y c son constantes que determinan la posición, la forma y la orientación de la parábola en el plano cartesiano.

Forma standard de una parábola

La forma estándar de una parábola es:

y = a(x – h)² + k

Donde (h, k) representa las coordenadas del vértice de la parábola. La constante “a” determina la apertura y la dirección de la parábola.

Parábola con apertura hacia arriba

Si “a” es positivo, la parábola tiene una apertura hacia arriba. Cuanto mayor sea el valor absoluto de “a”, más estrecha será la parábola.

Por ejemplo, la ecuación y = 2x² representa una parábola con una apertura hacia arriba y un valor de “a” igual a 2.

Parábola con apertura hacia abajo

Si “a” es negativo, la parábola tiene una apertura hacia abajo. Cuanto menor sea el valor absoluto de “a”, más ancha será la parábola.

Por ejemplo, la ecuación y = -3x² representa una parábola con una apertura hacia abajo y un valor de “a” igual a -3.

El vértice de la parábola

El vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la misma, dependiendo de si la apertura es hacia arriba o hacia abajo. Para encontrar las coordenadas del vértice en la forma estándar de una parábola, se utilizan las fórmulas:

h = -b / (2a)

k = c – (b² / 4a)

Donde (h, k) representa las coordenadas del vértice.

Ejemplos de ecuaciones de parábolas

Ejemplo 1: Parábola con apertura hacia arriba

Consideremos la ecuación y = x². Esta ecuación representa una parábola con una apertura hacia arriba y un vértice en el origen (0, 0). Si graficamos esta ecuación en un plano cartesiano, obtendremos una curva en forma de “U”.

Si sustituimos valores de “x” y resolvemos para “y”, obtendremos puntos adicionales en la parábola.

Para x = -2: y = (-2)² = 4. El punto correspondiente es (-2, 4).

Para x = -1: y = (-1)² = 1. El punto correspondiente es (-1, 1).

Para x = 1: y = (1)² = 1. El punto correspondiente es (1, 1).

Para x = 2: y = (2)² = 4. El punto correspondiente es (2, 4).

Podemos conectar estos puntos y trazar la parábola en el plano cartesiano.

Ejemplo 2: Parábola con apertura hacia abajo

Consideremos la ecuación y = -x². Esta ecuación representa una parábola con una apertura hacia abajo y un vértice en el origen (0, 0). Si graficamos esta ecuación en un plano cartesiano, obtendremos una curva en forma de “nido de pájaro”.

De manera similar al ejemplo anterior, si sustituimos valores de “x” y resolvemos para “y”, obtendremos puntos adicionales en la parábola.

Para x = -2: y = -(-2)² = -4. El punto correspondiente es (-2, -4).

Para x = -1: y = -(-1)² = -1. El punto correspondiente es (-1, -1).

Para x = 1: y = -(1)² = -1. El punto correspondiente es (1, -1).

Para x = 2: y = -(2)² = -4. El punto correspondiente es (2, -4).

Al conectar estos puntos, podemos visualizar la parábola con apertura hacia abajo en el plano cartesiano.

Conclusiones

Las ecuaciones de una parábola pueden tener diferentes formas y direcciones de apertura dependiendo de los valores de sus constantes. El vértice de la parábola es un punto importante que determina su posición en el plano cartesiano, y puede ser calculado utilizando fórmulas específicas. Graficar una parábola proporciona una representación visual de la ecuación y ayuda a comprender mejor sus características geométricas.

Preguntas frecuentes

¿Cómo puedo determinar si una parábola tiene una apertura hacia arriba o hacia abajo?

El valor de la constante “a” en la ecuación de una parábola determina su apertura. Si “a” es positivo, la parábola tiene una apertura hacia arriba. Si “a” es negativo, la parábola tiene una apertura hacia abajo.

¿Qué representa el vértice de una parábola?

El vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la misma, dependiendo de si la apertura es hacia arriba o hacia abajo. Este punto tiene coordenadas (h, k) y se utiliza para determinar la posición de la parábola en el plano cartesiano.

¿Cómo puedo encontrar las coordenadas del vértice de una parábola en la forma estándar?

Las coordenadas del vértice se pueden encontrar utilizando las fórmulas:

h = -b / (2a)

k = c – (b² / 4a)

Donde “h” y “k” representan las coordenadas del vértice y “a”, “b” y “c” son las constantes en la ecuación de la parábola.