Ejercicios resueltos del teorema de Tales para 2º de ESO

¿Qué es el teorema de Tales?

El teorema de Tales es un concepto fundamental en geometría que establece una relación proporcional entre segmentos de dos líneas paralelas cortadas por una secante. Este teorema lleva el nombre de Tales de Mileto, un matemático y filósofo griego del siglo VI a.C., considerado uno de los Siete Sabios de Grecia.

¿Qué necesitas saber antes de resolver ejercicios del teorema de Tales?

Antes de sumergirnos en los ejercicios resueltos del teorema de Tales, es importante recordar algunos conceptos básicos de geometría. Debes estar familiarizado con los siguientes términos:

• Líneas paralelas: dos líneas que nunca se intersectan y siempre mantienen la misma distancia una de la otra.
• Línea secante: una línea que intersecta a otras líneas en dos o más puntos.
• Segmentos: partes de una línea limitados por dos puntos.
• Proporciones: una igualdad en la que los cocientes de las medidas de los elementos relacionados son iguales.

Ejercicio 1: Longitudes proporcionales

En este ejercicio, vamos a trabajar con segmentos cuyas longitudes son proporcionales. Consideremos la siguiente figura:

Tenemos las líneas AB y CD, paralelas entre sí, y una secante EF que las corta. Los puntos G y H son las intersecciones de la secante con las líneas paralelas, respectivamente.

Nuestro objetivo es encontrar la longitud del segmento GH, sabiendo que:

AG/GB = CH/HD = EF/FG

Para resolver este ejercicio, seguiremos los siguientes pasos:

1. Observa la figura y establece las relaciones proporcionales dadas en el enunciado del problema. En este caso, tenemos la relación AG/GB = CH/HD = EF/FG.
2. Identifica los segmentos cuyas longitudes se desconocen y asignales variables. Por ejemplo, podemos asignar a GH la variable x.
3. Usa las relaciones proporcionales para establecer una ecuación. En este caso, podemos establecer la ecuación AG/GB = GH/HD.
4. Despeja la variable desconocida de la ecuación y resuelve para obtener su valor. En este caso, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por HD y obtener la ecuación AG/GB * HD = GH.
5. Sustituye los valores conocidos en la ecuación y resuelve para encontrar el valor de la variable desconocida. ¡Y así obtendrás la longitud del segmento GH!

Ejercicio 2: Aplicando el teorema de Tales en triángulos

El teorema de Tales también se puede aplicar en triángulos para resolver problemas de proporcionalidad entre los lados. Veamos un ejemplo:

En este triángulo ABC, la línea DE es paralela al lado AB y corta los lados AC y BC en los puntos D y E, respectivamente.

Supongamos que queremos encontrar la longitud del lado BC, sabiendo que:

AD/DB = AE/EC

Para resolver este ejercicio, seguiremos los siguientes pasos:

1. Observa la figura y establece las relaciones proporcionales dadas en el enunciado del problema. En este caso, tenemos la relación AD/DB = AE/EC.
2. Identifica los lados cuyas longitudes se desconocen y asignales variables. En este caso, podemos asignar a BC la variable x.
3. Usa las relaciones proporcionales para establecer una ecuación. En este caso, podemos establecer la ecuación AD/DB = AE/EC = x/EC.
4. Despeja la variable desconocida de la ecuación y resuelve para obtener su valor. En este caso, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por EC y obtener la ecuación AD/DB * EC = x.
5. Sustituye los valores conocidos en la ecuación y resuelve para encontrar el valor de la variable desconocida. ¡Y así obtendrás la longitud del lado BC!

Ejercicio 3: Propiedad de la bisectriz

El teorema de Tales también se aplica a la propiedad de la bisectriz de un triángulo. La bisectriz divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los dos lados adyacentes. Veamos un ejemplo:

En este triángulo ABC, la línea DE es la bisectriz del ángulo BAC y corta el lado BC en el punto E.

Supongamos que queremos encontrar la longitud del segmento EC, sabiendo que:

EB/EC = AB/AC

Para resolver este ejercicio, seguiremos los siguientes pasos:

1. Observa la figura y establece las relaciones proporcionales dadas en el enunciado del problema. En este caso, tenemos la relación EB/EC = AB/AC.
2. Identifica los segmentos cuyas longitudes se desconocen y asignales variables. En este caso, podemos asignar a EC la variable x.
3. Usa las relaciones proporcionales para establecer una ecuación. En este caso, podemos establecer la ecuación EB/EC = AB/AC = EB/x.
4. Despeja la variable desconocida de la ecuación y resuelve para obtener su valor. En este caso, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por EC y obtener la ecuación EB = x * AB/AC.
5. Sustituye los valores conocidos en la ecuación y resuelve para encontrar el valor de la variable desconocida. ¡Y así obtendrás la longitud del segmento EC!

Ejercicio 4: Problemas adicionales

Ahora que has resuelto ejercicios básicos del teorema de Tales, es hora de enfrentarte a problemas más desafiantes. Aquí te presento algunos problemas adicionales para poner a prueba tus habilidades:

Problema 1:

En el triángulo ABC, la línea DE es paralela al lado BC y corta los lados AC y AB en los puntos D y E, respectivamente. Si la longitud de AD es de 6 cm y la longitud de AE es de 4 cm, ¿cuál es la longitud de BC?

Problema 2:

En el triángulo ABC, la línea DE es la bisectriz del ángulo BAC y corta el lado BC en el punto E. Si la longitud de AB es de 8 cm, la longitud de AC es de 12 cm y la longitud de EB es de 4 cm, ¿cuál es la longitud de EC?

El teorema de Tales es una herramienta poderosa en la geometría que nos permite resolver problemas de proporcionalidad entre segmentos y lados en líneas y triángulos. Con los ejercicios resueltos presentados en este artículo, has adquirido un nuevo conjunto de habilidades que te ayudarán a enfrentar desafíos en geometría.

Recuerda practicar estos conceptos y aplica el teorema de Tales en problemas de la vida real. ¡Diviértete explorando el mundo de la geometría y expandiendo tus habilidades matemáticas!

¿El teorema de Tales se aplica solo en líneas y triángulos?

No, el teorema de Tales también se puede aplicar en otros contextos geométricos, como cuadriláteros y circunferencias. Sin embargo, los ejemplos presentados en este artículo se centran en líneas y triángulos para fines de simplicidad y comprensión.

¿Es posible aplicar el teorema de Tales en figuras tridimensionales?

El teorema de Tales se aplica principalmente en figuras bidimensionales. Sin embargo, algunos de los principios y conceptos subyacentes del teorema de Tales pueden ser utilizados en situaciones tridimensionales para resolver problemas de proporcionalidad entre segmentos y planos paralelos cortados por un plano secante.

¿El teorema de Tales tiene alguna aplicación práctica en la vida cotidiana?

¡Absolutamente! El teorema de Tales tiene muchas aplicaciones prácticas en la vida cotidiana, especialmente en campos como la arquitectura, la ingeniería y el diseño gráfico. Por ejemplo, se puede utilizar para determinar la altura de un edificio o calcular la proporción de un objeto en un dibujo en perspectiva.

¿Hay algún truco para resolver problemas del teorema de Tales?

Si bien cada problema puede presentar sus propias peculiaridades, es útil tener en cuenta las siguientes estrategias para resolver problemas del teorema de Tales:

• Identifica las relaciones proporcionales dadas en el enunciado del problema.
• Asigna variables a los segmentos o lados desconocidos.
• Establece una ecuación utilizando las relaciones proporcionales.
• Despeja la variable desconocida de la ecuación y resuelve para obtener su valor.
• Sustituye los valores conocidos en la ecuación y resuelve para encontrar el valor de la variable desconocida.

Con práctica y paciencia, encontrarás soluciones más rápidas y eficientes para resolver problemas del teorema de Tales.