Ejercicios resueltos de matemáticas 4º ESO: Logaritmos

Introducción

Los logaritmos son una herramienta fundamental en el estudio de las matemáticas, especialmente en el ámbito de la aritmética y la geometría. En este artículo, exploraremos una serie de ejercicios resueltos de logaritmos, diseñados especialmente para estudiantes de 4º de la ESO. A lo largo de este proceso, descubriremos cómo aplicar las propiedades y reglas de los logaritmos para resolver problemas concretos. Si estás listo para embarcarte en esta aventura matemática, ¡comencemos!

¿Qué son los logaritmos?

Antes de sumergirnos en los ejercicios resueltos, es importante comprender qué son exactamente los logaritmos y cómo funcionan. Un logaritmo es la inversa de una operación exponencial. En otras palabras, dado un número x y una base b, el logaritmo en base b de x, representado como log_b(x), es el exponente al cual se debe elevar b para obtener x. Esta definición puede sonar un poco abstracta al principio, pero a medida que profundicemos en los ejercicios, todo se aclarará.

Ejercicio 1: Simplificar logaritmos

Comencemos con un ejercicio práctico: simplificar el logaritmo log₂(8). Para resolver este problema, debemos preguntarnos: ¿a qué número debemos elevar 2 para obtener 8? La respuesta es 3, ya que 2³ = 8. Por lo tanto, log₂(8) = 3.

Paso a paso:

1. Identificar la base y el número del logaritmo: log₂(8).
2. Preguntar: ¿a qué número debemos elevar 2 para obtener 8?
3. Resolver el problema planteado utilizando las propiedades de los logaritmos: 2³ = 8.
4. Concluir que log₂(8) = 3.

Este ejercicio es solo una muestra de cómo simplificar logaritmos utilizando la definición básica. A medida que avancemos en los ejercicios, encontraremos casos más complejos.

Ejercicio 2: Propiedades de los logaritmos

En este ejercicio, exploraremos algunas de las propiedades fundamentales de los logaritmos y cómo aplicarlas. Consideremos el siguiente problema: determinar el valor de x en la ecuación log₇(x²) = 3. Para resolver este ejercicio, debemos recordar una propiedad clave: el exponente dentro de un logaritmo puede moverse hacia afuera como un coeficiente. Aplicando esta propiedad, podemos reescribir la ecuación como 2·log₇(x) = 3.

Paso a paso:

1. Reconocer la propiedad de los logaritmos: log₇(x²) = 2·log₇(x).
2. Reescribir la ecuación utilizando esta propiedad: 2·log₇(x) = 3.
3. Dividir ambos lados de la ecuación por 2 para aislar el logaritmo: log₇(x) = 3/2.
4. Utilizar la definición de logaritmo para determinar el valor de x.

A través de este ejercicio, hemos demostrado cómo manipular las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones. Este conocimiento será útil a medida que avancemos hacia problemas más desafiantes.

… (continuar escribiendo el resto del artículo)