Introducción
En este artículo, vamos a explorar una selección de ejercicios resueltos de matemáticas para estudiantes de 3º curso de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) utilizando el popular libro de texto de la editorial Bruño. Estos ejercicios están diseñados para ayudar a los estudiantes a practicar y comprender los conceptos matemáticos clave de una manera práctica y divertida.
¿Qué es matemáticas de 3º ESO?
En el tercer curso de la ESO, los estudiantes comienzan a adentrarse en conceptos matemáticos más complejos y abstractos. Esta etapa de la educación es fundamental para construir una base sólida en matemáticas, que les será útil durante toda su vida académica y profesional. Los temas que se abordan en matemáticas de 3º ESO incluyen álgebra, geometría, estadística, probabilidad y análisis de datos, entre otros.
Ejercicio 1: Álgebra
El álgebra es una parte fundamental de las matemáticas y en 3º ESO los estudiantes comienzan a profundizar en su estudio. Para este primer ejercicio, vamos a resolver una ecuación lineal:
Dada la ecuación 2x + 4 = 10, debemos encontrar el valor de x.
Para resolver esta ecuación, primero restamos 4 de ambos lados para aislar el término “2x”:
2x = 10 – 4
Simplificando, tenemos:
2x = 6
Luego, dividimos ambos lados por 2 para despejar x:
x = 6 ÷ 2
Finalmente, obtenemos:
x = 3
Entonces, la solución de la ecuación es x = 3.
Ejercicio 2: Geometría
La geometría también juega un papel importante en las matemáticas de 3º ESO. Ahora vamos a resolver un problema relacionado con las propiedades de los triángulos:
Se nos da un triángulo con los siguientes lados: a = 5cm, b = 7cm y c = 9cm. ¿Es este triángulo equilátero, isósceles o escaleno?
Antes de determinar qué tipo de triángulo es, recordemos las definiciones básicas:
– Un triángulo equilátero tiene todos sus lados iguales.
– Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales.
– Un triángulo escaleno tiene todos sus lados diferentes.
Teniendo en cuenta las medidas de los lados del triángulo dado, vemos que ningún lado es igual a otro. Por lo tanto, podemos concluir que este triángulo es un triángulo escaleno.
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Ejercicio 3: Estadística
La estadística es otro tema importante en matemáticas de 3º ESO. Vamos a resolver un problema que involucra la interpretación de datos:
Se nos da el siguiente conjunto de datos: 5, 7, 8, 9, 10, 15, 20, 23, 25.
Para encontrar la media aritmética de estos datos, sumamos todos los valores y luego dividimos el resultado entre la cantidad de valores:
(5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 15 + 20 + 23 + 25) ÷ 9
Calculando, obtenemos:
122 ÷ 9
La media aritmética de estos datos es aproximadamente 13.56.
Ejercicio 4: Probabilidad
La probabilidad es un concepto crucial en matemáticas y en la vida cotidiana. Vamos a resolver un problema de probabilidad utilizando un enfoque práctico:
Supongamos que tenemos una bolsa con 5 bolas rojas, 3 bolas verdes y 2 bolas azules. Si seleccionamos una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola verde?
Para determinar la probabilidad, debemos dividir el número de casos favorables (obtener una bola verde) entre el número total de casos posibles (las bolas en la bolsa). En este caso, tenemos 3 bolas verdes y un total de 10 bolas en la bolsa (5 rojas + 3 verdes + 2 azules).
Entonces, la probabilidad de obtener una bola verde es:
3 ÷ 10
La probabilidad es de aproximadamente 0.3 o un 30%.
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Ejercicio 5: Análisis de Datos
El análisis de datos es una habilidad valiosa en el mundo actual. Vamos a resolver un problema relacionado con el análisis de datos utilizando una tabla de frecuencias:
Dada la siguiente tabla de frecuencias:
| Edad | Frecuencia |
|——|————|
| 10 | 3 |
| 11 | 5 |
| 12 | 7 |
| 13 | 4 |
| 14 | 2 |
Para encontrar la moda, que es el valor que ocurre con mayor frecuencia, observamos que la edad con la frecuencia más alta es 12, con un total de 7 veces. Por lo tanto, podemos concluir que la moda de esta distribución de edades es 12.
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Ejercicio 6: Álgebra
Volviendo al álgebra, resolvamos otro ejercicio de ecuaciones lineales:
Dada la ecuación 3(x – 2) = 9, debemos encontrar el valor de x.
Primero, simplificamos la ecuación distribuyendo el 3 al término dentro del paréntesis:
3x – 6 = 9
Luego, sumamos 6 a ambos lados para aislar el término “3x”:
3x = 9 + 6
Simplificando, tenemos:
3x = 15
Finalmente, dividimos ambos lados por 3 para despejar x:
x = 15 ÷ 3
Obtenemos:
x = 5
La solución de la ecuación es x = 5.
Ejercicio 7: Geometría
Sigamos con otro problema de geometría relacionado con los polígonos:
Se nos da un polígono con 8 lados. Si la suma de los ángulos interiores de este polígono es de 900 grados, ¿cuál es el valor de cada uno de los ángulos interiores?
Para encontrar el valor del ángulo interior de un polígono, utilizamos la fórmula:
(n – 2) x 180° / n
Donde n es el número de lados del polígono.
En este caso, tenemos un polígono con 8 lados, por lo que sustituimos n en la fórmula:
(8 – 2) x 180° / 8
Calculando, obtenemos:
6 x 180° / 8 = 135°
Entonces, cada uno de los ángulos interiores de este polígono mide 135 grados.
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Ejercicio 8: Estadística
Ahora, vamos a abordar un problema de estadística relacionado con los cuartiles:
Se nos da el siguiente conjunto de datos: 2, 3, 4, 7, 9, 11, 13.
Para encontrar el valor del tercer cuartil, primero debemos ordenar los datos de menor a mayor:
2, 3, 4, 7, 9, 11, 13
Luego, encontramos la posición del tercer cuartil, que se calcula mediante la fórmula:
P = (3n) / 4
Donde P es la posición del tercer cuartil y n es la cantidad de datos.
En este caso, tenemos 7 datos, por lo que sustituimos n en la fórmula:
P = (3 x 7) / 4 = 21 / 4 = 5.25
La posición del tercer cuartil es 5.25. Como se trata de una posición decimal, debemos interpolar entre los valores correspondientes:
El valor de la posición entera anterior es 4 y el valor correspondiente es 9.
El valor de la posición entera siguiente es 5 y el valor correspondiente es 11.
Ahora, utilizamos la fórmula de interpolación:
V = (1 – D) x V1 + D x V2
Donde V es el valor del tercer cuartil, D es la parte decimal de la posición y V1 y V2 son los valores correspondientes a las posiciones enteras anterior y siguiente, respectivamente.
En este caso, tenemos:
V = (1 – 0.25) x 9 + 0.25 x 11 = 8.75 + 2.75 = 11.5
Entonces, el valor del tercer cuartil de este conjunto de datos es 11.5.
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Ejercicio 9: Probabilidad
La probabilidad también se aplica al lanzamiento de monedas. Vamos a resolver un problema relacionado con la probabilidad de obtener un resultado determinado al lanzar una moneda:
Si lanzamos una moneda justa al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga cara?
Una moneda justa tiene dos lados, cara y cruz, y ambos lados son igualmente probables de aparecer. Por lo tanto, la probabilidad de que caiga cara es de 1 de cada 2 posibles resultados.
Entonces, la probabilidad de que caiga cara al lanzar una moneda justa es de 1/2 o 0.5.
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Ejercicio 10: Análisis de Datos
La interpretación de gráficos es otra habilidad importante en matemáticas. Vamos a resolver un problema de interpretación de un gráfico de barras:
Dado el siguiente gráfico de barras que muestra la cantidad de ventas de tres tiendas durante un período de un mes, determinemos cuál es la tienda con la mayor cantidad de ventas:
Observando el gráfico, vemos que la barra más alta corresponde a la tienda B. Por lo tanto, podemos concluir que la tienda B tiene la mayor cantidad de ventas durante ese mes.
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Ejercicio 11: Álgebra
En este ejercicio, vamos a resolver un problema relacionado con las propiedades de los polinomios:
Dados los polinomios P(x) = 2x³ – 5x² + 3x + 2 y Q(x) = x² – 4x + 1, vamos a encontrar el resultado de P(x) + Q(x).
Para sumar dos polinomios, simplemente sumamos los términos correspondientes:
P(x) + Q(x) = (2x³ – 5x² + 3x + 2) + (x² – 4x + 1)
Simplificando, tenemos:
P(x) + Q(x) = 2x³ – 5x² + 3x + 2 + x² – 4x + 1
Combinando términos similares, obtenemos:
P(x) + Q(x) = 2x³ – 5x² + x² + 3x – 4x + 2 + 1
Simplificando aún más, tenemos:
P(x) + Q(x) = 2x³ – 4x² – x + 3
Entonces, el resultado de P(x) + Q(x) es 2x³ – 4x² – x + 3.
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Ejercicio 12: Geometría
Ahora, vamos a resolver un problema relacionado con las propiedades de los triángulos:
Se nos da un triángulo con lados a = 6cm, b = 8cm y c = 10cm. ¿Es este triángulo un triángulo rectángulo?
Recordemos que un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, que mide 90 grados.
Para determinar si este triángulo es un triángulo rectángulo, podemos utilizar el teorema de Pitágoras:
Si a² + b² = c², entonces el triángulo es rectángulo.
En este caso, tenemos:
6² + 8² = 10²
36 + 64 = 100
100 = 100
La igualdad se cumple, lo que significa que este triángulo es un triángulo rectángulo.
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Ejercicio 13: Estadística
Vamos a aplicar nuestro conocimiento sobre la mediana para resolver un problema estadístico:
Se nos da el siguiente conjunto de datos: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Encuentra la mediana.
Para encontrar la mediana, primero ordenamos los datos de menor a mayor:
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
Hay 8 datos en total, por lo que la mediana será el valor en la posición (n + 1) / 2, donde n es el número de datos.
En este caso, tenemos:
(8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4.5
La mediana será el valor en la posición 4.5. Como no podemos tener una posición decimal, interpolamos entre los valores correspondientes a las posiciones enteras anterior y siguiente:
El valor de la posición entera anterior es 4 y el valor correspondiente es 10.
El valor de la posición entera siguiente es 5 y el valor correspondiente es 12.
Utilizando la fórmula de interpolación:
V = (1 – D) x V1 + D x V2
Donde V es la mediana, D es la parte decimal de la posición y V1 y V2 son los valores correspondientes a las posiciones enteras anterior y siguiente, respectivamente.
En este caso, tenemos:
V = (1 – 0.5) x 10 + 0.5 x 12 = 5 x 10 + 0.5 x 12 = 50 + 6 = 56
Por lo tanto, la mediana de este conjunto de datos es 56.
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Ejercicio 14: Probabilidad
Vamos a aplicar nuestro conocimiento sobre probabilidad para resolver un problema relacionado con el lanzamiento de dados:
Si lanzamos dos dados justos, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?
Para encontrar la probabilidad, primero debemos determinar cuántas combinaciones posibles hay para que la suma de los dados sea 7. Estas combinaciones son: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) y (6, 1). En total, hay 6 combinaciones posibles.
Lanzando dos dados justos, hay un total