Ejercicios resueltos de la regla de la cadena con varias variables

La regla de la cadena es un concepto fundamental en el cálculo diferencial que nos permite encontrar la derivada de una función compuesta. Es decir, nos permite calcular la tasa de cambio instantánea de una cantidad que depende de varias variables. En este artículo, resolveremos ejercicios que involucran la regla de la cadena con varias variables.

La importancia de la regla de la cadena

Imagina que tienes una función que depende de varias variables, como por ejemplo, la temperatura de un objeto en función del tiempo y la posición. Si quieres calcular la tasa de cambio instantánea de la temperatura en un momento y lugar específico, necesitarás la regla de la cadena.

Antes de empezar: repaso básico

Antes de sumergirnos en los ejercicios, es importante recordar algunos conceptos básicos del cálculo.

Derivadas

La derivada de una función es la tasa de cambio instantánea de la función con respecto a su variable independiente. En otras palabras, nos indica cómo cambia la función cuando su variable independiente cambia ligeramente.

Regla del producto

La regla del producto nos permite encontrar la derivada de una función que es el producto de dos funciones.

Funciones compuestas

Una función compuesta es aquella que está formada por una función exterior y una función interior. Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = (x^2 + 1)^3, podemos considerarla como la función exterior g(x) = x^3 y la función interior h(x) = x^2 + 1.

Ejercicio 1: Encontrar la derivada de una función compuesta

Empecemos con un ejercicio sencillo para entender cómo aplicar la regla de la cadena con varias variables. Supongamos que tenemos la función f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 y queremos encontrar su derivada parcial con respecto a x.

Para resolver este ejercicio, primero necesitamos identificar la función exterior y la función interior. En este caso, la función exterior es g(u) = u^2 y la función interior es h(x, y) = x^2 + y^2.

Aplicando la regla de la cadena, la derivada parcial de f con respecto a x se calcula de la siguiente manera:

∂f/∂x = (dg/du) * (dh/dx)

Primero, encontramos las derivadas parciales de g y h:

dg/du = 2u

dh/dx = 2x

Reemplazando en la fórmula de la regla de la cadena, obtenemos:

∂f/∂x = (2u) * (2x) = 4ux = 4x(x^2 + y^2)

Por lo tanto, la derivada parcial de f con respecto a x es 4x(x^2 + y^2).

Ejercicio 2: Derivadas parciales cruzadas

En este ejercicio, consideremos la función f(x, y) = xy + x^2y. Queremos encontrar las derivadas parciales de f con respecto a x y y.

Para resolver este ejercicio, aplicamos la regla de la cadena de manera similar al ejercicio anterior. Identificamos la función exterior y la función interior:

Función exterior: g(u) = u

Función interior: h(x, y) = xy + x^2y

Calculamos las derivadas parciales de g y h:

dg/du = 1

dh/dx = y + 2xy

dh/dy = x + x^2

Aplicando la regla de la cadena, encontramos las derivadas parciales de f:

∂f/∂x = (dg/du) * (dh/dx) = 1 * (y + 2xy) = y + 2xy

∂f/∂y = (dg/du) * (dh/dy) = 1 * (x + x^2) = x + x^2

Por lo tanto, las derivadas parciales de f con respecto a x y y son y + 2xy y x + x^2, respectivamente.


Ejercicio 3: Derivadas parciales de una función trigonométrica

En este ejercicio, consideremos la función f(x, y) = sin(xy). Queremos encontrar las derivadas parciales de f con respecto a x y y.

Una vez más, aplicamos la regla de la cadena para resolver este ejercicio. Identificamos la función exterior y la función interior:

Función exterior: g(u) = sin(u)

Función interior: h(x, y) = xy

Calculamos las derivadas parciales de g y h:

dg/du = cos(u)

dh/dx = y

dh/dy = x

Aplicando la regla de la cadena, encontramos las derivadas parciales de f:

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∂f/∂x = (dg/du) * (dh/dx) = cos(xy) * y

∂f/∂y = (dg/du) * (dh/dy) = cos(xy) * x

Por lo tanto, las derivadas parciales de f con respecto a x y y son cos(xy) * y y cos(xy) * x, respectivamente.

Ejercicio 4: Derivadas parciales con funciones exponenciales

En este ejercicio, consideremos la función f(x, y) = e^(2x+y). Queremos encontrar las derivadas parciales de f con respecto a x y y.

Aplicamos la regla de la cadena como en los ejercicios anteriores. Identificamos la función exterior y la función interior:

Función exterior: g(u) = e^u

Función interior: h(x, y) = 2x + y

Calculamos las derivadas parciales de g y h:

dg/du = e^u

dh/dx = 2

dh/dy = 1

Aplicando la regla de la cadena, encontramos las derivadas parciales de f:

∂f/∂x = (dg/du) * (dh/dx) = e^(2x+y) * 2

∂f/∂y = (dg/du) * (dh/dy) = e^(2x+y) * 1

Por lo tanto, las derivadas parciales de f con respecto a x y y son 2e^(2x+y) y e^(2x+y), respectivamente.

Ejercicio 5: Derivadas parciales de una función logarítmica

En este último ejercicio, consideremos la función f(x, y) = ln(xy). Queremos encontrar las derivadas parciales de f con respecto a x y y.

Aplicamos una vez más la regla de la cadena. Identificamos la función exterior y la función interior:

Función exterior: g(u) = ln(u)

Función interior: h(x, y) = xy

Calculamos las derivadas parciales de g y h:

dk/du = 1/u

dh/dx = y

dh/dy = x

Aplicando la regla de la cadena, encontramos las derivadas parciales de f:

∂f/∂x = (dg/du) * (dh/dx) = (1/xy) * y = 1/x

∂f/∂y = (dg/du) * (dh/dy) = (1/xy) * x = 1/y

Por lo tanto, las derivadas parciales de f con respecto a x y y son 1/x y 1/y, respectivamente.

¿Por qué es importante la regla de la cadena en el cálculo diferencial?

La regla de la cadena es fundamental en el cálculo diferencial porque nos permite encontrar la derivada de una función compuesta. Sin esta regla, sería difícil o incluso imposible calcular la tasa de cambio instantánea de una cantidad que depende de varias variables.

¿Qué sucede si olvido aplicar la regla de la cadena en un ejercicio?

Si olvidas aplicar la regla de la cadena en un ejercicio, obtendrás un resultado incorrecto. Es importante recordar siempre aplicar la regla de la cadena cuando estés calculando derivadas de funciones compuestas.

¿Existen otras reglas importantes en el cálculo diferencial?

Sí, además de la regla de la cadena, existen otras reglas importantes en el cálculo diferencial, como la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia. Estas reglas nos permiten calcular derivadas de funciones más complejas.

¿Cuál es la diferencia entre la derivada parcial y la derivada total?

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La derivada parcial se calcula con respecto a una variable específica, mientras que la derivada total se calcula con respecto a todas las variables. En otras palabras, la derivada parcial mide cómo cambia una función en relación con una variable, manteniendo las demás variables constantes, mientras que la derivada total mide cómo cambia una función en relación con todas las variables.

¿Cuál es la importancia de resolver ejercicios prácticos de la regla de la cadena?

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Resolver ejercicios prácticos de la regla de la cadena nos ayuda a comprender mejor este concepto fundamental en el cálculo diferencial. Nos permite aplicar la teoría a situaciones reales y nos prepara para enfrentar problemas más complejos en el futuro.