Ejercicios resueltos de geometría analítica para 4º de ESO

Introducción a la geometría analítica

La geometría analítica es una rama de las matemáticas que combina los conceptos geométricos con los métodos algebraicos. A través de la geometría analítica, podemos estudiar las propiedades geométricas de objetos mediante técnicas algebraicas. Para estudiantes de 4º de Educación Secundaria Obligatoria (ESO), comprender y dominar los fundamentos de la geometría analítica es esencial para su progreso en matemáticas y otras ciencias. En este artículo, exploraremos una serie de ejercicios resueltos que te ayudarán a consolidar tus conocimientos y habilidades en geometría analítica.

Ejercicio 1: Distancia entre dos puntos

El primer concepto fundamental en geometría analítica es la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano. Para calcular la distancia entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), podemos utilizar la fórmula de la distancia:

d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)

Consideremos el siguiente ejercicio:

Calcula la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5, 7).

Para resolver este ejercicio, sustituimos los valores x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 5 y y₂ = 7 en la fórmula de la distancia y realizamos las operaciones necesarias:

d = √((5 – 2)² + (7 – 3)²)

d = √(3² + 4²)

d = √(9 + 16)

d = √25

d = 5

Por lo tanto, la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5, 7) es 5 unidades.

Explicación adicional:

La fórmula de la distancia se deriva del teorema de Pitágoras, utilizando los catetos como las diferencias en las coordenadas x y y, y la hipotenusa como la distancia entre los dos puntos.

Ejercicio 2: Punto medio de un segmento

Otro concepto importante en geometría analítica es el punto medio de un segmento. El punto medio de un segmento AB se encuentra exactamente en el punto medio de sus coordenadas x e y. Para calcular el punto medio, utilizamos las siguientes fórmulas:

x_m = (x₁ + x₂) / 2

y_m = (y₁ + y₂) / 2

Consideremos el siguiente ejercicio:

Encuentra el punto medio del segmento con los extremos A(1, 2) y B(4, 6).

Para resolver este ejercicio, sustituimos los valores x₁ = 1, y₁ = 2, x₂ = 4 y y₂ = 6 en las fórmulas del punto medio y realizamos las operaciones necesarias:

x_m = (1 + 4) / 2 = 5 / 2 = 2.5

y_m = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4

Por lo tanto, el punto medio del segmento con los extremos A(1, 2) y B(4, 6) es M(2.5, 4).

Aplicaciones de la geometría analítica

La geometría analítica tiene numerosas aplicaciones en diversas áreas, como la física, la ingeniería y la informática. A continuación, exploraremos algunas de estas aplicaciones más detalladamente.

…