¿Qué es la factorización de polinomios?
La factorización de polinomios es el proceso de descomponer un polinomio en factores más simples. Es una herramienta importante en el álgebra, ya que nos permite simplificar expresiones y resolver ecuaciones de manera más eficiente. En este artículo, exploraremos algunos ejercicios resueltos de factorización de polinomios para estudiantes de 3º de ESO.
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es aquel que se puede expresar como el cuadrado de un binomio. La factorización de un trinomio cuadrado perfecto sigue la fórmula:
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 1:
Factoriza el trinomio $x^2 + 6x + 9$.
Solución:
Observamos que el trinomio cumple con la fórmula del cuadrado perfecto. Podemos ver que $x^2$ es el cuadrado de $x$, y $9$ es el cuadrado de $3$.
Entonces, podemos expresar el trinomio como:
$x^2 + 2(3)(x) + 3^2$
Ahora, aplicamos la fórmula del cuadrado perfecto:
$(x + 3)^2$
Por lo tanto, el trinomio $x^2 + 6x + 9$ se factoriza como $(x + 3)^2$.
Factorización de un trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$
En este tipo de trinomio, los coeficientes de $x$ al cuadrado ($a$), $x$ ($b$) y el término independiente ($c$) pueden tener valores diferentes de $1$. Para factorizar un trinomio de esta forma, buscamos dos números que sumen $b$ y que al multiplicarse den $ac$. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 2:
Factoriza el trinomio $2x^2 – 5x – 3$.
Solución:
Buscamos dos números que sumen $-5$ y que al multiplicarse den $2(-3)$, que es igual a $-6$. Los números $-6$ y $1$ cumplen esta condición.
Entonces, podemos expresar el trinomio como:
$2x^2 – 6x + x – 3$
Ahora, agrupamos términos comunes:
$2x(x – 3) + 1(x – 3)$
Ahora, notamos que $(x – 3)$ es un factor común, por lo que podemos factorizar el trinomio como:
$(x – 3)(2x + 1)$
Por lo tanto, el trinomio $2x^2 – 5x – 3$ se factoriza como $(x – 3)(2x + 1)$.
Factorización por agrupación de términos
En ciertos casos, podemos factorizar un polinomio agrupando términos comunes. Veamos un ejemplo:
<Ejemplo 3:
Factoriza el polinomio $3x^3 + 6x^2 – 2x – 4$.
Solución:
Podemos agrupar términos comunes:
$(3x^3 + 6x^2) – (2x + 4)$
Ahora, factorizamos términos comunes en cada grupo:
$3x^2(x + 2) – 2(x + 2)$
Observamos que $(x + 2)$ es un factor común, por lo que podemos factorizar el polinomio como:
$(x + 2)(3x^2 – 2)$
Por lo tanto, el polinomio $3x^3 + 6x^2 – 2x – 4$ se factoriza como $(x + 2)(3x^2 – 2)$.
Factorización por fórmula general
En algunos casos, podemos utilizar la fórmula general para factorizar polinomios de grado mayor. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 4:
Factoriza el polinomio $x^4 – 16$.
Solución:
El polinomio es una diferencia de cuadrados, por lo que podemos aplicar la fórmula general para la factorización de diferencia de cuadrados:
$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
En este caso, tenemos:
$x^4 – 16 = (x^2 + 4)(x^2 – 4)$
Observamos que $(x^2 – 4)$ es una diferencia de cuadrados, por lo que podemos factorizarlo nuevamente:
$x^4 – 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x – 2)$
Por lo tanto, el polinomio $x^4 – 16$ se factoriza como $(x^2 + 4)(x + 2)(x – 2)$.
Conclusiones
La factorización de polinomios es una técnica fundamental en álgebra que nos permite simplificar expresiones y resolver ecuaciones de manera más eficiente. En este artículo, hemos abordado diferentes tipos de factorización, desde trinomios cuadrados perfectos hasta polinomios de grado mayor utilizando la fórmula general. Esperamos que estos ejemplos resueltos hayan sido útiles para comprender mejor este proceso.
Si tienes alguna pregunta o quieres probar algún ejercicio adicional, no dudes en dejar un comentario. ¡Estaremos encantados de ayudarte!