Ejercicios resueltos de ecuaciones punto-pendiente

¿Qué es una ecuación punto-pendiente?

Una ecuación punto-pendiente es una forma de representar una línea recta en un plano cartesiano. Se utiliza cuando se conoce el punto de intersección de la recta con el eje y (denominado “punto”) y la pendiente de la recta.

En este artículo, te mostraré varios ejercicios resueltos de ecuaciones punto-pendiente para que puedas practicar y mejorar tus habilidades en la resolución de este tipo de problemas.

Ejercicio 1: Encontrar la ecuación punto-pendiente de una recta

Supongamos que nos dan el punto de intersección (2, 3) y la pendiente de la recta m = 4. Para encontrar la ecuación punto-pendiente de esta recta, podemos utilizar la fórmula:

y – y₁ = m(x – x₁)

Donde (x₁, y₁) representa el punto de intersección y m es la pendiente de la recta.

Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:

y – 3 = 4(x – 2)

Podemos simplificar la ecuación expandiendo el lado derecho:

y – 3 = 4x – 8

Ahora, podemos llevar el término y a un lado de la ecuación y los términos con x al otro lado:

y = 4x – 8 + 3

Finalmente, simplificando la ecuación, obtenemos:

y = 4x – 5

Esta es la ecuación punto-pendiente de la recta.

Ejercicio 2: Encontrar la pendiente de una recta mediante una ecuación punto-pendiente

En este ejercicio, nos dan la ecuación punto-pendiente de una recta y debemos encontrar su pendiente. Por ejemplo, si nos dan la ecuación y = 2x + 1, podemos identificar la pendiente como el coeficiente de x, en este caso, 2.

Por lo tanto, la pendiente de la recta representada por esta ecuación punto-pendiente es 2.

Ejercicio 3: Graficar una recta dada su ecuación punto-pendiente

Para graficar una recta dada su ecuación punto-pendiente, primero debemos identificar el punto de intersección y la pendiente. Luego, trazamos el punto en el plano cartesiano y utilizamos la pendiente para determinar la dirección de la recta.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la ecuación punto-pendiente y = -3x + 2. El punto de intersección es (0, 2) y la pendiente es -3. Graficando este punto en el plano cartesiano, podemos trazar una línea con una pendiente negativa que pase por el punto.

Ejercicio 4: Encontrar el punto de intersección de dos rectas dadas sus ecuaciones punto-pendiente

Si nos dan las ecuaciones punto-pendiente de dos rectas, podemos encontrar su punto de intersección resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. Para hacer esto, igualamos las ecuaciones y resolvemos para obtener los valores de x e y del punto de intersección.

Por ejemplo, si tenemos las ecuaciones punto-pendiente y = 2x + 1 y y = -3x + 4, podemos igualar las dos ecuaciones:

2x + 1 = -3x + 4

Podemos simplificar esta ecuación sumando 3x a ambos lados:

2x + 3x + 1 = 4

Luego, sumando 1 a ambos lados:

5x + 1 = 4

Ahora, restamos 1 de ambos lados:

5x = 3

Dividiendo ambos lados por 5:

x = 3/5

Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales, podemos encontrar el valor de y:

y = 2(3/5) + 1

y = 6/5 + 1

y = 11/5

Por lo tanto, el punto de intersección de las dos rectas es (3/5, 11/5).

Ejercicio 5: Calcular la longitud de un segmento de recta dadas sus coordenadas punto-pendiente

Si conocemos las coordenadas de dos puntos en una recta y la ecuación punto-pendiente, podemos calcular la longitud del segmento de recta comprendido entre los dos puntos.

Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación punto-pendiente y = 2x + 1 y las coordenadas de los puntos A(1, 3) y B(4, 9). Para calcular la longitud del segmento de recta AB, podemos utilizar la fórmula de distancia entre dos puntos:

d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)

Donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son las coordenadas de los puntos A y B respectivamente.

Sustituyendo las coordenadas en la fórmula, tenemos:

d = √((4 – 1)² + (9 – 3)²)

d = √(9 + 36)

d = √45

Por lo tanto, la longitud del segmento de recta AB es √45.

Estos son solo algunos ejemplos de problemas resueltos de ecuaciones punto-pendiente. Recuerda practicar este tipo de ejercicios para mejorar tus habilidades y comprensión de las rectas en un plano cartesiano.

Preguntas frecuentes

1. ¿Es importante conocer la ecuación punto-pendiente de una recta?

Sí, conocer la ecuación punto-pendiente de una recta es importante ya que nos permite representarla en un plano cartesiano y realizar cálculos relacionados con su pendiente, intersecciones y longitud.

2. ¿Cuáles son las aplicaciones de las ecuaciones punto-pendiente en la vida real?

Las ecuaciones punto-pendiente son utilizadas en diversas áreas como la física, la ingeniería y la economía para modelar y predecir fenómenos relacionados con rectas y pendientes.

3. ¿Existen otras formas de representar una línea recta además de la ecuación punto-pendiente?

Sí, otras formas comunes de representar una línea recta son la ecuación general, la ecuación de la pendiente-intersección y la ecuación simétrica.

Recuerda practicar y experimentar con diferentes ejercicios de ecuaciones punto-pendiente para mejorar tus habilidades y comprensión de las rectas en un plano cartesiano. ¡Diviértete resolviendo problemas y descubriendo las maravillas de las matemáticas!