¿Qué son las derivadas por definición?
Las derivadas por definición son un concepto fundamental en el cálculo diferencial. Se utilizan para encontrar la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. Esencialmente, la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto específico.
Paso 1: Entendiendo los conceptos básicos
Antes de sumergirnos en los ejercicios de derivadas por definición, es importante tener una comprensión clara de algunos conceptos básicos. Aquí hay algunos términos que necesitarás conocer:
Función
Una función es una relación matemática entre dos conjuntos de números, conocidos como el dominio y el rango. En términos más simples, asigna un valor de salida a cada valor de entrada.
Tasa de cambio
La tasa de cambio es una medida de la rapidez con la que una función está cambiando en relación con la variable independiente. Puede ser positiva, negativa o cero, dependiendo de si la función está creciendo, disminuyendo o manteniéndose constante.
Recta tangente
La recta tangente a una curva en un punto dado es una línea que toca la curva solo en ese punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. La recta tangente proporciona una aproximación lineal de la curva en ese punto específico.
Paso 2: Ejercicios resueltos de derivadas por definición
Ahora que tenemos una base sólida en los conceptos básicos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios de derivadas por definición. A continuación, se presentan algunos ejemplos para mostrarte cómo se aplica este método:
Ejercicio 1
Calculemos la derivada de la función f(x) = 3x^2 + 2x – 4 en el punto x = 2 utilizando la definición de derivada.
En primer lugar, necesitamos encontrar la diferencia incremental de la función h:
h = lim(h->0) [f(2+h) – f(2)] / h
Ahora, sustituyamos los valores de f(2+h) y f(2) en la ecuación:
h = lim(h->0) [(3(2+h)^2 + 2(2+h) – 4) – (3(2)^2 + 2(2) – 4)] / h
Al simplificar la ecuación, obtendremos:
h = lim(h->0) [(3(4 + 4h + h^2) + 4 + 2h – 4) – (12 + 4 – 4)] / h
Continuando con las simplificaciones, llegaremos a:
h = lim(h->0) [(12 + 12h + 3h^2 + 4 + 2h – 4) – 12] / h
h = lim(h->0) (12h + 3h^2 + 2h) / h
Finalmente, al dividir por h y calcular el límite, obtendremos la derivada de la función en el punto x = 2.
Ejercicio 2
Vamos a encontrar la derivada de la función g(x) = √x en el punto x = 4 utilizando la definición de derivada.
Al igual que en el ejercicio anterior, necesitaremos encontrar la diferencia incremental de la función:
h = lim(h->0) [g(4+h) – g(4)] / h
Sustituyendo los valores, obtendremos:
h = lim(h->0) [√(4+h) – √(4)] / h
Dentro de la raíz cuadrada, resolvamos (√(4+h)) utilizando la propiedad de factorización:
h = lim(h->0) [(√(4)√(1+(h/4))) – √(4)] / h
h = lim(h->0) [(2√(1+(h/4))) – 2] / h
Continuando con las simplificaciones, llegaremos a:
h = lim(h->0) [2(√(1+(h/4)) – 1)] / h
h = 2 * lim(h->0) [√(1+(h/4)) – 1] / h
Finalmente, al calcular el límite, obtendremos la derivada de la función g(x) = √x en el punto x = 4.