Integración por partes es una técnica fundamental en el cálculo integral que nos permite resolver integrales de productos de funciones. A través de una fórmula derivada del Teorema Fundamental del Cálculo, podemos simplificar nuestras integrales y llegar a un resultado más manejable. En este artículo, exploraremos ejercicios resueltos de integración por partes para desarrollar una comprensión más profunda de esta técnica matemática.
¿Qué es la integración por partes?
La integración por partes es una técnica de cálculo integral que nos permite encontrar la integral de un producto de dos funciones. Se basa en la regla del producto de derivadas, que establece que la derivada de un producto es igual a la suma de los productos de las derivadas de las dos funciones.
La fórmula básica de la integración por partes es la siguiente:
∫ u dv = uv – ∫ v du
Donde u y v son dos funciones diferentesiables y ∫ representa la integral.
Esta fórmula nos permite simplificar nuestra integral original en una nueva integral que, en algunos casos, puede ser más fácil de resolver.
Paso 1: Escoger u y dv
El primer paso para resolver una integral por partes es seleccionar dos funciones diferentesiables, u y dv, que compongan el producto que queremos integrar. La elección de estas funciones dependerá de su facilidad de derivación o integración.
Para ilustrar este proceso, veamos el siguiente ejercicio:
Ejercicio 1: Calcular ∫ x * e^x dx
En este caso, podemos seleccionar:
- u = x
- dv = e^x dx
La elección de u y dv es flexible y dependerá de la simplicidad de la derivación o integración de las funciones. En este caso, la derivada de x es 1, lo cual es más fácil de manejar que la integral de e^x.
Paso 2: Calcular du y v
El segundo paso es calcular las derivadas e integrales de las funciones u y dv que hemos seleccionado. Esto nos permitirá obtener du y v, respectivamente.
En nuestro ejemplo, tenemos:
- du = dx (derivada de u)
- v = ∫ e^x dx = e^x (integral de dv)
Calculamos la integral de dv utilizando técnicas previas de cálculo integral. En este caso, la integral de e^x es simplemente e^x.
Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes
Una vez que tenemos todas las partes necesarias, podemos aplicar la fórmula de integración por partes para resolver nuestra integral original.
La fórmula nos dice que:
∫ u dv = uv – ∫ v du
En nuestro ejemplo, esto se traduce en:
∫ x * e^x dx = x * e^x – ∫ e^x dx
Recuerda que la integral ∫ e^x dx es simplemente e^x. Por lo tanto, podemos simplificar aún más nuestra expresión:
∫ x * e^x dx = x * e^x – e^x + C
Donde C es la constante de integración.
Ejercicios resueltos adicionales
Hasta ahora, hemos resuelto un ejemplo específico de integración por partes. Sin embargo, existen infinitas combinaciones de funciones u y dv que podemos utilizar. A continuación, presentaremos algunos ejercicios adicionales para ayudarte a practicar y familiarizarte aún más con esta técnica.
Ejercicio 2: Calcular ∫ ln(x) dx
En este ejercicio, seleccionamos:
- u = ln(x)
- dv = dx
Calculamos du y v:
- du = (1/x) dx
- v = ∫ dx = x
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ ln(x) dx = x * ln(x) – ∫ x * (1/x) dx
La integral ∫ x * (1/x) dx se cancela, ya que x * (1/x) es simplemente 1:
∫ ln(x) dx = x * ln(x) – ∫ 1 dx
La integral ∫ 1 dx equivale a x:
∫ ln(x) dx = x * ln(x) – x + C
Ejercicio 3: Calcular ∫ x^2 * sin(x) dx
En este ejercicio, seleccionamos:
- u = x^2
- dv = sin(x) dx
Calculamos du y v:
- du = 2x dx
- v = ∫ sin(x) dx = -cos(x)
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ x^2 * sin(x) dx = -x^2 * cos(x) – ∫ -cos(x) * 2x dx
La integral ∫ -cos(x) * 2x dx se puede simplificar:
∫ x^2 * sin(x) dx = -x^2 * cos(x) + 2∫ x * cos(x) dx
Continuaríamos el cálculo de esta integral utilizando otros métodos de integración.
La integración por partes es una poderosa técnica en el cálculo integral que nos permite resolver integrales de productos de funciones. Siguiendo los pasos adecuados y seleccionando las funciones adecuadas, podemos simplificar nuestras integrales y llegar a resultados manejables. A través de ejercicios resueltos como los presentados en este artículo, podemos desarrollar nuestra comprensión y habilidad en la integración por partes.