Introducción
La derivabilidad de una función es un concepto fundamental en el cálculo diferencial. Nos permite comprender cómo una función cambia en diferentes puntos y cómo podemos medir ese cambio instantáneo. En este artículo, exploraremos una serie de ejercicios resueltos sobre derivabilidad de funciones para ayudarte a comprender y practicar este concepto clave.
¿Qué es la derivabilidad?
Antes de adentrarnos en los ejercicios resueltos, es importante comprender qué significa que una función sea derivable. La derivabilidad se refiere a la existencia de la derivada de una función en un punto dado. En otras palabras, una función es derivable en un punto si tiene una tangente bien definida en ese punto.
¿Cómo determinamos la derivabilidad de una función?
Para determinar si una función es derivable en un punto, necesitamos verificar si cumple con la condición del límite. La condición del límite establece que el límite de la función cuando el punto de evaluación se acerca al punto de interés debe ser igual al límite de la derivada cuando el punto de evaluación también se acerca al punto de interés. Si esta condición se cumple, podemos decir que la función es derivable en ese punto.
¿Por qué es importante la derivabilidad?
La derivabilidad es fundamental en muchos aspectos del cálculo y tiene aplicaciones directas en ciencias como la física, la economía y la ingeniería. Nos permite comprender cómo cambian las variables en un sistema y cómo podemos optimizar nuestra comprensión y análisis de ese cambio. Además, la derivabilidad nos permite encontrar valores máximos y mínimos, así como puntos de inflexión en una función.
Ejercicios resueltos de derivabilidad
A continuación, resolveremos una serie de ejercicios para aplicar los conceptos de derivabilidad. Recuerda que la práctica es esencial para comprender plenamente los fundamentos de la derivabilidad, por lo que te animamos a realizar estos ejercicios junto con nosotros.
Ejercicio 1: Determinar la derivabilidad de una función polinómica
Consideremos la función f(x) = 2x^2 + 3x + 1. Para determinar si esta función es derivable en un punto dado, necesitamos evaluar la condición del límite. Primero, calculemos la derivada de la función f'(x) = 4x + 3. Ahora, evaluemos el límite de la función y el límite de su derivada cuando x se acerca a un punto dado, por ejemplo, x = 3. Si ambos límites son iguales, podemos concluir que la función es derivable en ese punto.
Sustituyendo x = 3 en la función original, obtenemos f(3) = 2(3)^2 + 3(3) + 1 = 28. Ahora, evaluemos el límite de la función cuando x se acerca a 3:
lim(x→3) f(x) = lim(x→3) (2x^2 + 3x + 1) = 2(3)^2 + 3(3) + 1 = 28.
Ahora evaluemos el límite de la derivada cuando x se acerca a 3:
lim(x→3) f'(x) = lim(x→3) (4x + 3) = 4(3) + 3 = 15.
Observamos que los dos límites coinciden y, por lo tanto, podemos concluir que la función f(x) = 2x^2 + 3x + 1 es derivable en x = 3.
Ejercicio 2: Determinar la derivabilidad de una función trigonométrica
Ahora analicemos la función g(x) = sen(x). Para determinar si esta función es derivable en un punto dado, nuevamente debemos evaluar la condición del límite. La derivada de la función es g'(x) = cos(x). Evaluemos ahora el límite de la función y el límite de su derivada cuando x se acerca a un punto dado, por ejemplo, x = π/2.
Primero, sustituyamos x = π/2 en la función original, obteniendo g(π/2) = sen(π/2) = 1. Ahora, evaluemos el límite de la función cuando x se acerca a π/2:
lim(x→π/2) g(x) = lim(x→π/2) sen(x) = 1.
Finalmente, evaluemos el límite de la derivada cuando x se acerca a π/2:
lim(x→π/2) g'(x) = lim(x→π/2) cos(x) = 0.
Observamos que los dos límites no coinciden y, por lo tanto, podemos concluir que la función g(x) = sen(x) no es derivable en x = π/2.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre una función derivable y una función continua?
Una función continuamente diferenciable es aquella que tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo dado. Una función derivable, por otro lado, solo requiere la existencia de la derivada en un punto específico.
¿Qué sucede si una función no es derivable en un punto?
Si una función no es derivable en un punto, eso significa que no tiene una tangente bien definida en ese punto. Esto puede tener implicaciones en el análisis y comprensión del comportamiento de una función en ese punto.
¿Es posible que una función sea derivable pero no continua?
No, una función debe ser continua para poder ser derivable en un punto dado. La continuidad y la derivabilidad están estrechamente relacionadas y una función debe cumplir con ambas condiciones para ser considerada derivable.