Introducción
En este artículo, vamos a trabajar en algunos ejercicios resueltos de potencias para estudiantes de 4º de Educación Secundaria Obligatoria (ESO). Las potencias son una herramienta matemática muy útil que nos permite simplificar cálculos y expresiones de forma más compacta y eficiente. A lo largo de este artículo, iremos paso a paso resolviendo diferentes ejercicios y explicando cada uno de ellos de manera detallada.
¿Qué son las potencias?
Las potencias son operaciones matemáticas en las que un número, llamado base, se multiplica por sí mismo un número determinado de veces, llamado exponente. Se escriben de la siguiente manera: base^exponente. Por ejemplo, 2^3 significa que el número 2 se multiplica por sí mismo tres veces: 2 x 2 x 2 = 8.
Propiedades de las potencias
Antes de comenzar con los ejercicios resueltos, es importante recordar algunas propiedades de las potencias que nos ayudarán a simplificar los cálculos:
1. Producto de potencias con la misma base
Cuando tenemos potencias con la misma base, podemos multiplicar los exponentes y dejar la misma base. Por ejemplo, si tenemos a^2 x a^3, podemos combinar las bases y sumar los exponentes, lo que resulta en a^(2+3) = a^5.
2. División de potencias con la misma base
Al igual que con la propiedad anterior, cuando tenemos potencias con la misma base, podemos dividir los exponentes y dejar la misma base. Por ejemplo, si tenemos a^5 / a^2, podemos combinar las bases y restar los exponentes, lo que resulta en a^(5-2) = a^3.
3. Potencia de una potencia
Cuando tenemos una potencia elevada a otra potencia, podemos multiplicar los exponentes. Por ejemplo, si tenemos (a^2)^3, podemos multiplicar los exponentes y dejar la misma base, lo que resulta en a^(2×3) = a^6.
4. Potencia de cero
Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1. Por ejemplo, cualquier número a^0 = 1.
Ejercicios resueltos
Ahora que recordamos las propiedades básicas de las potencias, vamos a resolver algunos ejercicios paso a paso:
Ejercicio 1:
Calcula el resultado de 2^4.
Para resolver este ejercicio, simplemente multiplicamos la base por sí misma el número de veces indicado por el exponente:
2 x 2 x 2 x 2 = 16.
Por lo tanto, 2^4 = 16.
Ejercicio 2:
Simplifica la expresión (3^2)^3.
De acuerdo con la propiedad de potencia de una potencia, podemos multiplicar los exponentes. En este caso, se tiene:
3^(2×3) = 3^6.
Por lo tanto, (3^2)^3 = 3^6.
Ejercicio 3:
Calcula el resultado de (4^2) x (4^3).
Aplicando la propiedad de producto de potencias con la misma base, podemos sumar los exponentes:
4^(2+3) = 4^5.
Por lo tanto, (4^2) x (4^3) = 4^5.
Ejercicio 4:
Simplifica la expresión 5^4 / 5^2.
Según la propiedad de división de potencias con la misma base, podemos restar los exponentes:
5^(4-2) = 5^2.
Por lo tanto, 5^4 / 5^2 = 5^2.
Ejercicio 5:
Calcula el resultado de (2^3)^2 x 2^4 / 2^2.
Primero, resolvamos la expresión del paréntesis utilizando la propiedad de potencia de una potencia:
(2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6.
Luego, utilizando la propiedad de producto de potencias con la misma base, multiplicamos los exponentes y simplificamos:
2^6 x 2^4 = 2^(6+4) = 2^10.
Finalmente, utilizando la propiedad de división de potencias con la misma base, restamos los exponentes:
2^10 / 2^2 = 2^(10-2) = 2^8.
Por lo tanto, (2^3)^2 x 2^4 / 2^2 = 2^8.
Preguntas frecuentes
1. ¿Qué ocurre cuando el exponente es 0?
Cuando el exponente es 0, cualquier número elevado a esa potencia es igual a 1. Es una propiedad fundamental de las potencias.
2. ¿Se pueden sumar o restar números con exponentes iguales pero bases diferentes?
No. Las bases deben ser iguales para poder sumar o restar los exponentes. Si las bases son diferentes, no podemos simplificar la expresión de esa manera y debemos operar cada exponente individualmente.
3. ¿Puedo combinar potencias de diferentes bases en una sola expresión?
No. No podemos combinar potencias de diferentes bases en una sola expresión, a menos que sea un producto o una división según las propiedades mencionadas anteriormente.
4. ¿Hay alguna forma de simplificar una potencia con números decimales?
Sí, las potencias con números decimales se pueden evaluar utilizando logaritmos. Sin embargo, esta técnica va más allá del alcance de este artículo y requeriría conocimientos adicionales.
Espero que este artículo te haya sido de ayuda para comprender y resolver ejercicios de potencias. Recuerda practicar y realizar más ejercicios para afianzar tus conocimientos en esta área de las matemáticas. ¡Mucho ánimo y sigue adelante!